离散随机变量数学期望详解

在前面的例子中，虽然分布列完整地描述了甲、乙两个射手的统计规律，但还是很难由它立即看出甲、乙两个射手的技术水平高低.现在我们可以从其平均射中的环数多少来评定其技术优劣.

甲射中八环的概率为0.3，可知100次射击中，大约有30次射中八环.同样约有10次射中九环，60次射中十环.故甲平均射中的环数约为

（8×30＋9×10＋10×60）＝8×0.3＋9×0.1＋10×0.6＝9.3（环），

乙平均射中的环数约为

（8×20＋9×50＋10×30）＝8×0.2＋9×0.5＋10×0.3＝9.1（环），

所以从平均射中的环数看甲的技术优于乙.

可见，这种反映离散型随机变量取“平均”意义的数正好是随机变量的可能取值与其对应概率乘积之和.

定义1　设离散型随机变量X的分布律为

P(X＝xi)＝pi， i＝1，2，….

若级数绝对收敛，则称其和为X的数学期望或平均值，简称期望或均值，记为E（X），即

E（X）是完全由X的分布律确定的，而不应受X的可能取值的排列次序的影响，因此要求绝对收敛.若不绝对收敛，我们就称X的数学期望不存在.

如果把x1，x2，…，xi，…看成x轴上质点的坐标，而p1，p2，…，pi，…看成相应质点的质量，质量总和为，则式（3.1）就表示质点系的重心坐标.

例1　设随机变量X的分布列为

求E（X）.(www.xing528.com)

解　由式（3.1）有

如将此例视为甲、乙两个人“博弈”，甲赢的概率为，输的概率为，但甲每赢一次可以从乙处得3元，而每输一次，要给乙1元，则E（X）＝就告诉我们，甲平均每次可赢元.故每个“玩家”在参加博弈时，心中首先要盘算这个数字，这也正是我们称E（X）为“期望”的原因.

例2　设随机变量X服从（0-1）分布，即分布律为

P(X＝1)＝p， P(X＝0)＝1－p＝q，

求E（X）.

解　由式（3.1）有

这说明（0-1）分布中的参数p就是期望，这样对于我们实际去确定p有很大的帮助.例如，某厂生产的某种产品，记{X＝1}为正品，{X＝0}为次品，P（X＝1）＝p.由式（3.2）可根据连日生产的记录来计算p值.若其平均正品率为0.95，则可以近似地认为p＝0.95.从而这个分布也就完全确定了.

例3　设随机变量X服从参数为n，p的二项分布，求E（X）.

解　X～B（n，p），其分布律为

由式（3.1）有

例4　设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求E（X）.

解　X～π（λ），其分布律为