【摘要】：例3已知随机变量X～N，求Y＝aX＋b的密度函数，a≠0，b是常数.解设f，fY分别表示X与Y的密度函数，F、FY分别表示X与Y的分布函数.FY对y求导可得Y的密度函数合并起来即为可见正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量，且Y＝aX＋b～N.下面来讨论一般的情况.已知随机变量X的密度函数fX，如何求Y＝g的密度函数fY呢？
例3 已知随机变量X～N（μ，σ2），求Y＝aX＋b的密度函数，a≠0，b是常数.
解 设f（x），fY（y）分别表示X与Y的密度函数，F（x）、FY（y）分别表示X与Y的分布函数.
FY（y）对y求导可得Y的密度函数
合并起来即为
可见正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量，且
Y＝aX＋b～N(aμ＋b，(aσ)2).
下面来讨论一般的情况.已知随机变量X的密度函数fX（x），如何求Y＝g（X）的密度函数fY（y）呢？
我们的步骤如下：首先在不等式“Y≤y”中，即在“g（X）≤y”中解出X，从而得到一个与g（X）≤y等价的关于X的不等式；然后，由此可以得到随机变量Y＝g（X）的分布函数FY（y），从而得到Y密度函数fY（y）.(https://www.xing528.com)
例4 已知随机变量X的密度函数为fX（x），求随机变量Y＝X 2的密度函数fY（y）.
解 任给y∈（－∞，＋∞），随机变量Y＝X 2的分布函数为FY（y）＝P（Y≤y）＝P（X 2≤y）.当y≤0时，FY（y）＝0，从而得到fY（y）＝0.当y＞0时，由不等式X 2≤y，得到
，因此
从而我们得到
综上得
若X～N（0，1），则Y＝X 2的密度函数由上式可得
即
这个随机变量Y称为自由度为1的χ2随机变量，或称Y服从自由度为1的χ2分布.
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