伯努利试验中的二项分布|概率论与数理统计

在n重伯努利试验中，设事件A发生的概率为p.事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0，1，2，…，n.由第一章第三节可知取这些值的概率为

式中，q＝1－p，0＜p＜1，k＝0，1，2，…，n，并称随机变量X服从参数为n，p的二项分布.记为X～B（n，p）.容易验证，满足条件

(1)P(X＝k)≥0，k＝0，1，2，…，n；

(2)

用分布列表示为

当n＝1时，P（X＝k）＝p kq 1－k，k＝0，1，这就是（0-1）分布.所以（0-1）分布是二项分布的特例.

二项分布对于固定的n及p，当k增加时，P（X＝k）先是随之增加直至达到极大值，一般在k＝（n＋1）p和（n＋1）p－1处（当（n＋1）p为整数）达到极大值，或在k＝[（n＋1）p]处（当（n＋1）p不是整数，[ ]为最大整数部分）达到极大值，随后单调减少，且对于固定的p，随n增加，B（n，p）趋于对称.使P（X＝k）取极大值的k称为最可能出现的次数.

例3　设射手每次射中目标的概率为0.01，现射击500次，问最可能射中的次数是多少？并求其相应的概率.(www.xing528.com)

解　设500次射击中，射中目标的次数为X，则由题意可知X～B（500，0.01），这里n＝500，p＝0.01.由（n＋1）p＝5.01，取整得[（n＋1）p]＝[5.01]＝5.最可能射中的次数是5，相应概率为

例4　有一交叉路口，每天都有大量汽车通过，设每辆汽车在一天中某段时间内发生事故的概率为0.0001，假若某天该段时间内有1000辆汽车通过该路口，试求发生事故次数小于两次的概率.

解　设随机变量X表示发生事故的次数，则X～B（1000，0.0001），发生事故次数小于两次的事件概率为

P(X＜2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)

＝(0.9999)1000＋1000×0.0001×(0.9999)999

＝0.9953.

该题的计算比较麻烦，究其原因，是由于二项概率公式“”比较复杂.人们希望有一个比较简单的计算公式能近似代替二项分布的计算.下面介绍的泊松分布就解决了这个问题.