上一章我们研究了随机事件及其概率，本章将在此基础上进一步研究随机变量及其分布.
回顾上章所举的随机试验，我们发现在许多试验中，观察的对象常常是一个随机取值的量.例如，观察掷一颗骰子出现的点数，这个量的可能取值为1，2，3，4，5，6.电话接线员在上午8时到9时接到的电话呼叫次数，这个量的可能取值为0，1，2，….在第一章第一节例4中观察弹着点与目标中心的距离，这个量可能在[0，＋∞）中取值.虽然有些随机试验的结果，例如掷硬币观察出现正面还是反面，与数值无关，但我们可以通过下面的方法使它与数值联系起来.即，当出现正面时，我们规定其对应数为“1”；而出现反面时，我们规定其对应数为“0”.这样，当试验结果不是数值时，也可将其数量化，仍可用数量来描述.
若将试验中所观察的对象用X表示，它将随着试验的重复，可以取不同的值.但在每次试验中究竟取什么值事先无法断言，是带有随机性的.因此，很自然地称X为随机变量.又由于X是随着试验结果（基本事件ω）不同而变化的，所以X实际上是基本事件ω的函数，即X＝X（ω）.如掷硬币试验中，样本空间Ω＝{（出现正面），（出现反面）}.用X表示试验结果，按上述方法数量化，则X就是基本事件的函数：
由上所述，下面给出随机变量的定义：
定义1 设试验的样本空间为Ω，如果对Ω中每个基本事件ω都有唯一的实数值X（ω）与之对应，则称X（ω）为随机变量，简记为X.
有了随机变量，随机事件就可以通过随机变量的关系式表示出来.如设X表示一段时间内电话交换台接到的呼唤次数，则事件{呼唤次数不超过5次}、{呼唤次数不少于2次}、{没有接到呼唤}，就可分别表示为：{0≤X≤5}、{X≥2}、{X＝0}.在掷硬币的试验中，{X＝1}就表示{出现正面}，{X＝0}就表示{出现反面}.(www.xing528.com)
对任何事件A，可以用随机变量
表示，这时{χA（ω）＝1}就表示事件A.χA（ω）又称为A的示性函数.由此可见，对事件的研究可以转变为对随机变量的研究.
有了随机变量，就可以通过它来描述随机试验中的各种事件，能够全面反映试验的情况.这就使得我们对随机现象的研究，从第一章对事件与事件的概率的研究，扩大到随机变量的研究，这样数学分析的方法也可用来研究随机现象了.
一个随机变量所可能取到的值只有有限个（如掷骰子出现的点数）或可列无限多个（如电话交换台接到的呼唤次数），则称这样的随机变量为离散型随机变量.而像弹着点到目标的距离这样的随机变量，它的取值连续地充满了一个区间，这称为连续型随机变量，它是非离散型随机变量中最重要的类型.下面先来研究离散型随机变量.
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