贝叶斯公式及其实际应用

设事件B1，B2，…，Bn及A满足

（1）B1，B2，…，Bn两两互不相容，P（Bi）＞0，i＝1，2，…，n；

(2)，P(A)＞0，

则

即为贝叶斯（Thomas Bayes，1702—1763）公式.

证　由条件概率定义及全概率公式，有

现通过一个具体问题，来说明这个公式的实际意义.若有一病人高烧到40℃，医生要确定他患有何种疾病，首先要考虑病人可能发生的疾病B1，B2，…，Bn.这里假定一个病人不会同时得几种疾病，即事件B1，B2，…，Bn互不相容，医生可凭以往的经验估计出发病率P（Bi），i＝1，2，…，n，这通常叫先验概率.进一步要考虑的是一个人得Bi这种病时高烧到40℃的可能性P（A|Bi），i＝1，2，…，n，这可以根据医学知识来确定.这样，就可根据贝叶斯公式算得P（Bi|A），i＝1，2，…，n.这个概率表示在已获得新的信息（即知此病人高烧40℃）后，病人得B1，B2，…，Bn这些疾病的可能性的大小，这通常称为后验概率.对应于较大P（Bi|A）的Bi，为医生的诊断提供了重要依据.如果我们把A当作观察的“结果”，而B1，B2，…，Bn理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果溯因”的推断.

例10　设甲袋中有a只白球、b只黑球，乙袋中有c只白球、d只黑球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，若已知从乙袋中取出的为一白球，求从甲袋中取出黑球放入乙袋的概率.

解　设A表示从乙袋中取出白球，B1表示从甲袋中取出白球放入乙袋，B2表示从甲袋中取出黑球放入乙袋.利用例8的计算结果，由贝叶斯公式有

例11　条件同例9，求通过检验的一批产品中，恰有i件次品的概率，i＝0，1，2，3，4.

解　欲求(www.xing528.com)

将例9的结果代入上式，有

这样就得到了通过检验的一批产品中所含次品件数的概率：

将此结果与检验前一批产品中所含次品数的概率比较，有

P(B0|A)＞P(B0)，

P(B1|A)＞P(B1)，

而

P(B2|A)＜P(B2)，

P(B3|A)＜P(B3)，

P(B4|A)＜P(B4).

这个结果，从直观上看是很容易理解的，因为没有次品的各批产品必然通过检验，次品较少的各批产品比较容易通过检验，而次品较多的各批产品较难通过检验，所以通过检验后的各批产品次品数的概率与检验前有所不同了.