全概率公式及应用-概率论与数理统计

设事件B1，B2，…，Bn满足

（1）B1，B2，…，Bn两两互不相容，P（Bi）＞0，i＝1，2，…，n；

(2)，

则有

P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋…＋P(Bn)P(A|Bn).

此公式称为全概率公式.

证　由（2）得

由（1）知Bi A与Bj A，i≠j是互不相容的，由概率的有限可加性可得

再利用乘法公式，有

全概率公式表明，若直接计算事件A发生的概率比较困难，则不妨分析一下A在哪些情况（事件）下可能发生，引起事件A发生的情况（事件）就是B1，B2，…，Bn，若P（Bi），P（A|Bi）又能够求得，则P（A）就可利用全概率公式计算.(www.xing528.com)

例8　设甲袋中有a只白球、b只黑球，乙袋中有c只白球、d只黑球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，求取出的球为白球的概率.

解　取出的球为白球不外乎由两种情况造成：从甲袋中取出白球放入乙袋或是从甲袋中取出黑球放入乙袋.因此设A表示从乙袋中取出白球，B1表示从甲袋中取出白球放入乙袋，B2表示从甲袋中取出黑球放入乙袋，由题意已知

由全概率公式得

例9　某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，并具有如下的概率：

现进行抽样检验，从每批中抽取10件来检验，如果发现其中有次品，则认为该批产品是不合格的，求一批产品通过检验的概率.

解　设A表示一批产品通过检验；Bi表示一批产品中含有i件次品，i＝0，1，2，3，4.又已知P（B0）＝0.1，P（B1）＝0.2，P（B2）＝0.4，P（B3）＝0.2，P（B4）＝0.1.再算出

由全概率公式得

以上结果，给工厂提供了这样的信息，即若工厂生产了1000批产品，则通过检验，以合格品出厂约有814批.产品一经出厂（A发生了），就作为合格品出售，但这时每批里仍可能含有i件次品，i＝0，1，2，3，4.因此，对顾客来讲最关心的是概率P（Bi|A），i＝0，1，2，3，4，希望此概率最大的一个所对应的i越小越好，即希望买到的产品中所含次品少的概率大.然而要计算P（Bi|A），可利用下面这个在实际应用中占有特殊地位的公式.