条件概率乘法定理：如何计算事件A在事件B已发生条件下的概率

在实际问题中，除了要考虑事件A发生的概率外，有时还需要考虑在事件B已发生的条件下，事件A发生的概率.一般说来，后者与前者未必相同.为区别起见，称后者为条件概率，记作P（A|B），读成在事件B发生的条件下事件A发生的概率.

例如，甲、乙两车间各生产500只零件，分别含有次品15只和25只.今在这1000只零件中任取一件，以A表示抽到次品，B表示抽到甲车间生产的零件，那么

显然，P（A）≠P（A|B）.

设想把上述1000只零件编上不同的号码，考虑的随机试验E是从这1000只零件中任取一件，观察其号码，则其所有可能结果有1000个，即E的样本空间Ω中有1000个基本事件.在事件B已经发生的条件下，即在已经知道抽到的零件是甲车间生产的前提下，E的所有可能结果减少到500个，此时我们说E的样本空间由于事件B的发生而缩减了.如果把缩减后的样本空间记为ΩB，那么上面的P（A|B）就是在这个缩减样本空间ΩB上计算的.

一般地，条件概率应如何定义呢？

对于古典概型的条件概率，可以证明，当P（B）＞0时，

事实上，设在某一个试验的所有n个基本事件中，使B发生的有kB个，使AB发生的有kAB个，于是

由此，在一般情况下，我们也用这一结果定义条件概率.

定义1　设A、B是两个事件，且P（B）＞0，则称

为已知事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率.

类似地，若P（A）＞0，则称

为已知事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.

根据条件概率定义，很容易验证它符合概率定义中的三个条件，即

(1)0≤P(A|B)≤1；

(2)P(Ω|B)＝1；

（3）若事件A1，A2，…，An，…是两两互不相容的，则

条件概率P（A|B）既然是一个概率，也就满足概率的一般性质.条件概率是概率论中一个很重要、很基本的概念，必须很好地理解和掌握它.

条件概率P（A|B）的计算，通常是用条件概率的定义来计算的，另一种方法是由事件B发生作为出发点，建立所谓“缩减样本空间ΩB”（ΩB＝B），再在ΩB中去计算事件A发生的概率.

例1　某家庭有三个孩子，按年龄由高到低依次记为a，b，c，已知老大a是男孩，求这三个孩子的性别恰为两男一女的概率.

解　设A表示事件“a，b，c的性别恰为两男一女”，B表示事件“老大a是男孩”，则要求的概率就是P（A|B）.我们用两种办法计算.

（1）考虑随机试验E：观察三个孩子的性别，则E的样本空间及缩减样本空间分别为

Ω＝{男男男，男男女，男女男，男女女，女男男，女男女，女女男，女女女}，

ΩB＝{男男男，男男女，男女男，男女女}.(www.xing528.com)

在ΩB中，事件A中包含两个基本事件，而ΩB中含有4个基本事件，故

（2）在Ω中看，事件B包含4个基本事件，事件AB包含两个基本事件，而Ω中含有8个基本事件，所以

由条件概率定义得

由条件概率定义即得下边的定理.

定理1　设A，B为两事件，若P（A）＞0，P（B）＞0，则有

P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B).

这个公式称为乘法公式.

更一般地，对事件A1，A2，…，An，若P（A1 A2…An－1）＞0，则有

P(A1 A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2)…P(An|A1 A2…An－1).

证　由A1⊃A1 A2⊃A1 A2 A3⊃…⊃A1 A2…An－1，得

P(A1)≥P(A1 A2)≥P(A1 A2 A3)≥…≥P(A1 A2…An－1)＞0，

故公式右边的每个条件概率都是有意义的.再由条件概率定义可得

例2　设袋中有4只白球和两只黑球，从中任意地连取两次，每次取一球，取后不放回，求取出的两球都是白球的概率.

解　设A，B分别表示第一次、第二次取得白球，则P（AB）即为所求的概率.由于，所以

本题除利用乘法公式计算外，也可以用等可能概型来计算，视抽取两次为一基本事件，则所求概率

例3　5个人进行抽签，其中4张是空的，一张为电影票，求每个人抽到电影票的概率.

解　设Ai，i＝1，2，3，4，5为第i个人抽到电影票的事件，Bi，i＝1，2，3，4，5为第i次抽到电影票的事件，则

可见每人抽到电影票的概率是一样的，这与我们在第二节例3中得到的抽签与先后次序无关，机会是均等的，从而不必争先恐后的结论是一致的，只不过这里利用了乘法公式加以说明罢了.

例4　[波利亚（Pólya）摸球模型]袋中有a只白球、b只黑球，任意取出一球，把原球放回，并加入与取出的球同色的球c只，再取出第二次，如此继续取下去，共取了n次.问前n1次出现黑球，后n2＝n－n1次出现白球的概率是多少？

解　设Ai，i＝1，2，…，n1为第i次取到黑球，，j＝1，2，…，n2为第n1＋j次取到白球，则

由乘法公式得所求概率为

值得指出的是这个概率只与黑球和白球出现的次数有关，而与它们出现的先后次序无关，也就是说当黑球白球以其他方式出现时也有相同的结果.这个模型曾被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.如果取c＝0，这就是有放回的摸球模型；取c＝－1，这就是不放回的摸球模型，所以它是一个很一般的摸球模型.