概率论频率性质及公理化定义

随机事件在一次试验中是否发生，事先无法确定，但在大量重复试验中，人们发现它具有一定的统计规律性，这表明它发生的可能性的大小还是可以度量的.一般说来，一个事件A发生的可能性大小，可用在n次重复试验下事件A发生的次数nA与n的比值来反映.我们将

称为事件A在n次试验中出现的频率.

频率具有如下性质：

（1）对任一事件A，有0≤Fn（A）≤1；

（2）对必然事件Ω，有Fn（Ω）＝1；

（3）若事件A、B互不相容，则

Fn(A∪B)＝Fn(A)＋Fn(B).

证　因为0≤nA≤n，所以有，由Fn（A）的定义就得性质（1）.

由nΩ＝n，即可得性质（2）.(www.xing528.com)

由于A∪B事件的发生就是A，B两事件中至少一个发生，又知A，B互不相容，故有

nA∪B＝nA＋nB.

两端除以n，就得性质（3）.　　　　　　　　　□

性质（3）还可以推广，若事件A1，A2，…，Am两两互不相容，则

频率虽然在一定程度上反映了事件发生的可能性大小，但它却依赖于人的认识，即会因人而异.因为即使同样做了n次试验，nA却会不一样，这种差异我们常说成是频率具有随机波动性.但若加深认识（这里就是增加试验次数n），那么随机波动性将会减小.即随着n逐渐增大，Fn（A）也就逐渐稳定于某个常数P（A）.这个常数P（A）客观上反映事件A发生的可能性的大小.

历史上著名的统计学家蒲丰（George Louis de Buffon，1707—1788）和皮尔逊（Karl Pearson，1857—1936）曾进行过大量掷硬币的试验，所得结果如下：

可见出现正面的频率总在0.5附近波动.随着试验次数的增加，它逐渐稳定于0.5.这个0.5就能反映正面出现的可能性大小.

每个事件都有这样一个常数与之对应.这就是说频率具有稳定性.因而可将事件A的频率Fn（A），在n无限增大时所逐渐稳定的那个常数P（A）定义为事件A发生的概率.这就是概率的统计定义.然而这个定义本身存在着很大缺点，即这里的“逐渐稳定”含义不清，要对“逐渐稳定”的含义作出具体说明就总会或多或少地带有人为的主观性.是否能去除这个含混不清的“逐渐稳定”，而将客观上表征该事件发生可能性大小的一个数，及它所固有的性质来作为概率的定义呢？我们自然马上会意识到这个数应该具有频率所具有的几个性质.这个工作由数学家柯尔莫哥洛夫（Andrei Nikolayevich Kolmogorov，1903—1987）于1933年完成.他给出了概率的公理化定义，从而使概率论迅速发展成为一个严谨的数学分支.