图3-20 截切体的有关概念
1.截切体的有关概念及性质
截切体的有关概念如图3-20所示，正六棱柱被平面P截为两部分，用来截切立体的平面称为截平面；立体被截切后的部分称为截切体；立体被截切形成的断面称为截断面；截平面与立体表面的交线称为截交线。
尽管立体的形状不尽相同（分为平面立体和曲面立体），截平面与立体表面的相对位置也各不相同，由此产生的截交线的形状也千差万别，但所有的截交线都具有以下基本性质：
（1）共有性。
截交线是截平面与立体表面的共有线，既在截平面上，又在立体表面上，是截平面与立体表面共有点的集合。
（2）封闭性。
由于立体表面是有范围的，所以截交线一般围合成封闭的平面图形（平面多边形或曲线图形）。
根据截交线的性质，求截交线，就是求出截平面与立体表面的一系列共有点，然后依次连接即可。求截交线时，既可利用投影的积聚性直接作图，也可通过作辅助线的方法求出。
2.平面截切体
由平面立体截切得到的截切体，叫平面截切体。
因为平面立体由若干平面围成，所以平面与平面立体相交时的截交线是一个封闭的平面多边形，多边形的顶点是平面立体的棱线与截平面的交点，多边形的每条边是平面立体的棱面与截平面的交线。因此，作平面立体上的截交线，可以归纳为两种方法：
第一种是交点法：先求出平面立体的各棱线与截平面的交点，然后将各点依次连接起来，即得截交线。
连接各交点有一定的原则：只有两点在同一个表面上才能连接，可见棱面上的两点用实线连接，不可见棱面上的两点用虚线连接。
第二种是交线法：求出平面立体的各表面与截平面的交线。
一般常用交点法求截交线的投影。两种方法使用不分先后，可配合运用。
求平面立体截交线的投影时，要先分析平面立体在未被截割时的形状是怎样的，它是怎样被截割的，以及截交线有何特点等，然后再进行作图。
具体应用时通常利用投影的积聚性辅助作图。
1）棱柱上的截交线
【例3-5】 已知五棱柱部分投影如图3-21（a）所示，求作五棱柱被正垂面PV截断后的投影。
分析：截平面与五棱柱的五个侧棱面均相交，与顶面不相交，故截交线为五边形。
作图，如图3-21（b）所示：
（1）由于截平面为正垂面，故截交线的V面投影已知，截交线的H面投影abdec亦确定。
（2）运用交点法，依据“高平齐”的投影关系，作出截交线各顶点的W面投影a″、b″、c″、d″、e″。
（3）五棱柱截去左上角，截交线的H面和W面投影均可见。截去的部分，棱线不再画出，但应画出侧棱线未被截去的一段，在V面、W面投影中不可见侧棱线应画为虚线。
（4）检查、整理、描深图线，完成全图，如图3-21（c）所示。
图3-21 作五棱柱的截交线
2）棱锥上的截交线
【例3-6】 求作正垂面PV截割四棱锥S-ABCD所得截切体的投影。已知四棱锥投影如图3-22（a）所示。
图3-22 作四棱锥的截交线
分析：
①截平面PV与四棱锥的四个棱面都相交，截交线是一个四边形；
②截平面PV是一个正垂面，其正面投影具有积聚性；
③截交线的正面投影与截平面的正面投影重合，即截交线的正面投影已确定，只需求出水平投影和侧面投影。
作图，如图3-22（b）所示：
①因为PV的正面投影具有积聚性，所以PV的正面投影与s′a′、s′b′、s′c′和s′d′的交点1′、2′、3′和4′即为截平面与四棱锥各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ的正面投影。
②利用投影规律，向下引铅垂线求出相应的点1、2、3和4，向右引水平线求出1″、2″、3″和4″。
③四边形1234为截交线的水平投影。线段2′3′为截交线的正面投影。H面、W面各投影均可见。
④检查、整理、描深图线，完成全图，如图3-22（c）所示。
【例3-7】 已知三棱锥S-ABC部分投影如图3-23（a）所示，求作铅垂面QH截割三棱锥S-ABC所得的截切体的投影。
分析：
①截平面QH与三棱锥的三个棱面、一个底面都相交，截交线是一个四边形；
②截平面QH是一个铅垂面，其水平投影具有积聚性；
③截交线的水平投影与截平面的水平投影重合，即截交线的水平投影已确定，只需求出正面投影和侧面投影。
作图，如图3-23（b）所示：
①因为QH的水平投影具有积聚性，所以QH的水平投影与ac、sa、sb、和bc的交点1、2、3和4即为截断面各顶点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ的水平投影。
②利用投影规律，向上引铅垂线求出相应的点1′、2′、3′和4′，向右引水平线求出1″、2″、3″和4″。
③连接1′、2′、3′、4′，四边形1′2′3′4′为截交线的正面投影，线段1′2′可见，画成实线。
④检查、整理、描深图线，完成全图，如图3-23（c）所示。
图3-23 作三棱锥的截交线
例3-6和例3-7都是利用截平面投影的积聚性作图。
3）带缺口的平面立体的投影
绘制带缺口的平面立体的投影图，在工程制图时经常有这样的要求，这种制图的实质仍然是求截交线的问题。
【例3-8】 如图3-24（a）所示，已知带有缺口的正六棱柱的V面和H面投影，求其W面投影。
分析：
①从给出的V面投影可知，正六棱柱的缺口是由两个侧平面和一个水平面截割正六棱柱而形成的。只要分别求出这三个平面与正六棱柱的截交线以及这三个截平面之间的交线即可。
②这些交线的端点的正面投影为已知，只需补出其余投影。
③Ⅰ、Ⅱ、Ⅶ、Ⅷ四点是缺口的左边的侧平面与立体相交得到的点，Ⅲ、Ⅳ、Ⅸ、Ⅹ是缺口的右边的侧平面与立体相交得到的点，Ⅴ、Ⅵ两点为正六棱柱前、后棱线与缺口的水平面相交得到的点，其中直线ⅦⅧ和ⅨⅩ又分别是缺口的左、右两侧平面与水平面相交所得的交线。
作图，如图3-24（b）所示：
①利用正六棱柱各侧棱面水平投影的积聚性及其他投影规律依次作出点Ⅰ～Ⅹ的三面投影。
②连接各点。将在同一棱面又在同一截平面上的相邻点的同面投影相连。
③判别可见性。W面投影中7″8″、9″10″交线不可见，画成虚线。
④检查、整理、描深图线，完成全图，如图3-24（c）所示。
图3-24 带缺口的正六棱柱的投影
3.曲面截切体
由曲面立体截切得到的截切体，叫曲面截切体。平面与曲面立体相交，所得的截交线一般为封闭的平面曲线。截交线上的每一点，都是截平面与曲面立体表面的共有点。求出足够多的共有点，然后依次连接起来，即得截交线。截交线可以看作截平面与曲面立体表面上交点的集合。
求曲面立体截交线的问题实质上是在曲面上定点的问题，基本方法有素线法、纬圆法和辅助平面法。当截平面为投影面垂直面时，可以利用投影的积聚性来求点；当截平面为一般位置平面时，需要过所选择的素线或纬圆作辅助平面来求点。
1）圆柱上的截交线
平面与圆柱面相交，根据截平面与圆柱轴线相对位置的不同，所得的截交线（见表3-2）有以下几种情况：
（1）当截平面垂直于圆柱的轴线时，截交线为一个圆。
（2）当截平面倾斜于圆柱的轴线且不截切上、下底面时，截交线为椭圆。此椭圆的短轴平行于圆柱的底圆平面，它的长度等于圆柱的直径；椭圆长轴与短轴的交点（椭圆中心），落在圆柱的轴线上，长轴的长度随截平面相对轴线的倾角不同而变化。若截切上、下底面，则投影为复合图形。
（3）当截平面经过圆柱的轴线或平行于轴线时，截交线为矩形，其中两条边为圆柱面上的两条素线。
表3-2 圆柱上的截交线
【例3-9】 已知圆柱投影如图3-25（a）所示，求正垂面PV与圆柱的截切体的投影。
分析：
①圆柱轴线垂直于H面，截交线水平投影为圆。
②截平面PV为正垂面，与圆柱轴线斜交，交线为椭圆。椭圆的长轴平行于V面，短轴垂直于V面。椭圆的V面投影积聚成一条直线，与PV重合。椭圆的H面投影，落在圆柱面的同面投影上，故只需作图求出截交线的W面投影。
作图，如图3-25（b）所示：
①求特殊点。这些点包括轮廓线上的点、特殊素线上的点、极限点以及椭圆长短轴的端点。
最左点Ⅰ（也是最低点）、最右点Ⅲ（也是最高点）、最前点Ⅱ和最后点Ⅳ是截断面轮廓线上的点，又是椭圆长、短轴的端点，可以利用投影规律，直接求出其水平投影和侧面投影。
②求一般点。为了作图准确，在截交线上特殊点之间选取一些一般位置点。此处选取了Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ四个点，由水平投影5、6、7、8和正面投影5′、6′、7′、8′，求出侧面投影5″、6″、7″、8″。
③连点。将所求各点的侧面投影顺次光滑连接，即为椭圆截交线的W面投影。(www.xing528.com)
④判别可见性。截交线的侧面投影均可见。
⑤检查、整理、描深图线，完成全图，如图3-25（c）所示。
图3-25 正垂面与圆柱的截交线
从例3-9中可以看出，椭圆截交线在平行于圆柱轴线但不垂直于截平面的投影面上的投影一般仍是椭圆。椭圆长、短轴在该投影面上的投影，仍为椭圆投影的轴线。当截平面与圆柱轴线的夹角α=45°时，椭圆在该投影面上的投影成为一个与圆柱底圆相等的圆。
2）圆锥上的截交线
当平面截交圆锥时，根据截平面与圆锥轴线相对位置的不同，可产生五种不同形状的截交线，如表3-3所示：
（1）当截平面垂直于圆锥的轴线时，截交线为一个圆；
（2）当截平面倾斜于圆锥的轴线，并与所有素线相交时，截交线为一个椭圆；
（3）当截平面倾斜于圆锥的轴线，但与一条素线平行时，截交线由抛物线与一线段组成；
（4）当截平面平行于圆锥的轴线，或者倾斜于圆锥的轴线但与两条素线平行时，截交线由双曲线的一支与一线段组成；
（5）当截平面通过圆锥的轴线或锥顶时，截交线为三角形，其中两条边为两条素线。
表3-3 圆锥上的截交线
续表
平面截割圆锥所得的曲线截交线（圆、椭圆、抛物线和双曲线），统称为圆锥曲线。当截平面倾斜于投影面时，椭圆、抛物线、双曲线的投影，一般仍为椭圆、抛物线和双曲线，但有变形。圆的投影为椭圆，椭圆的投影亦可能成为圆。
【例3-10】 如图3-26（a）所示，已知圆锥的三面投影，正垂面PV截切圆锥，求截切体的投影。
分析：
①因截平面PV是正垂面，PV面与圆锥的轴线倾斜并与所有素线相交，故截交线为椭圆。
②PV面与圆锥最左、最右素线的交点即为椭圆长轴的端点Ⅰ、Ⅳ，椭圆长轴平行于V面，椭圆短轴（端点为Ⅴ、Ⅵ）垂直于V面，且平分ⅠⅣ。
③截交线的V面投影重合在PV上，H面投影、W面投影仍为椭圆，椭圆截交线的长、短轴为椭圆投影的轴线。
图3-26 正垂面与圆锥的截交线
作图，如图3-26（b）所示：
①求长轴端点。在V面上，PV与圆锥投影的轮廓线的交点，即为长轴端点的V面投影1′、4′；点Ⅰ、Ⅳ的H面投影1、4在水平中心线上，14就是H面投影椭圆的长轴。
②求短轴端点。截交线椭圆短轴端点Ⅴ、Ⅵ的投影5′、6′必积聚在1′4′的中点，表示为5′（6′），用纬圆法求出水平投影5、6，之后求出5″、6″。
③求最前、最后素线与PV面的交点Ⅱ和Ⅲ。在PV面正面投影与圆锥正面投影的轴线交点处得2′、3′，向右作水平线得到其侧面投影2″、3″，向下作铅垂线经45°线向左得到2、3。
④求一般点Ⅶ、Ⅷ。先在V面定出点7′、8′，再用纬圆法求出7、8，并进一步求出7″、8″。
⑤连接各点并判别可见性。在H面投影中依次平滑连接各点，即得椭圆截交线的H面投影；同理得出椭圆截交线的W面投影。
⑥检查、整理、描深图线，完成全图，如图3-26（c）所示。
【例3-11】 已知投影如图3-27（a）所示，求作侧平面Q截切圆锥形成的截切体的投影。
分析：
①因截平面Q与圆锥轴线平行，故截交线由双曲线一支与一线段组成；
②截交线的正面投影和水平投影都因积聚性重合于Q的同面投影；
③截交线的侧面投影反映实形。
作图，如图3-27（b）所示：
①在Q的正面投影与圆锥正面投影左边轮廓线的交点处，得到截交线最高点Ⅲ的投影点3′，进一步得到两个投影点3、3″；
②在Q的正面投影与圆锥底面正面投影的交点处，得到截交线最低点Ⅰ和Ⅱ的投影1′、2′，进一步得到1、2、1″、2″；
③用纬圆法求出一般点Ⅳ、Ⅴ的各投影；
④顺次连接2″、5″、3″、4″、1″；
⑤W面投影均可见；
⑥检查、整理、描深图线，完成全图，如图3-27（c）所示。
图3-27 侧平面与圆锥的截交线
3）球体上的截交线
球体上的截平面不论其角度如何，所得截交线的形状都是圆。截平面距球心的距离决定截交圆的大小，经过球心的截交圆是最大的截交圆。
当截平面与水平投影面平行时，截交线水平投影是圆，反映实形，其正面投影和侧面投影都积聚为一条水平线段；当截平面与V面（或W面）平行时，截交线在V面（或W面）上的投影是圆，其他两投影是线段；如果截平面倾斜于投影面，则截交线在该投影面上的投影为椭圆。截平面倾斜于H面、W面且垂直于V面时，截交线的投影如图3-28所示，其上各点的投影可自行分析。
图3-28 截平面倾斜于H面、W面时球体上的截交线的投影
4）带缺口的曲面立体的投影
【例3-12】 如图3-29（a）所示，给出圆柱截切体的正面投影和水平投影，补画出侧面投影。
分析：
①根据截平面的数量、截平面与轴线的相对位置，确定截交线的形状。
截切体可以看作圆柱被两个平面所截的结果。一是正垂面，与轴线倾斜，其截交线为椭圆的一部分；二是侧平面，其截交线为矩形，其中两边为两条素线。两截平面相交于一直线。
②根据截平面与投影面的相对位置，确定截交线的投影。
截平面是正垂面时，截交线的正面投影积聚为直线，W面投影为椭圆的一部分，H面投影为圆的一部分；截平面是侧平面时，截交线的侧面投影为矩形，其中两边为两条素线，正面投影重合为一条线段，H面投影积聚成一条线段。
作图，如图3-29（b）所示：
①求特殊点。根据截平面和圆柱投影的积聚性，截交线的正面投影、水平投影为已知，只需求出截交线的侧面投影。其中Ⅰ是椭圆长轴的一个端点，Ⅲ、Ⅵ是椭圆短轴的两个端点，它们在截断面轮廓线上，Ⅳ、Ⅴ是侧平面截交线中的素线和椭圆的连接点，利用水平投影求出侧面投影。
②求一般点。Ⅱ、Ⅶ是一般位置的点，用素线法求出其水平投影，进一步求出侧面投影。
③判别可见性并连接点。侧面投影中所有点的投影均可见。
④检查、整理、描深图线，完成全图，如图3-29（c）所示。
【例3-13】 已知圆锥截切体部分投影如图3-30（a）所示，求切割后圆锥的投影。
分析：
①根据截平面的数量、截平面与轴线的相对位置，确定截交线的形状。截切体可以看作圆锥被P、R、Q三个平面所截的结果。P、Q、R为三个投影面垂直面。P和R两平面都垂直于轴线，其截交线为圆的一部分；Q平面过锥顶，其截交线中有两条素线。
图3-29 带切口的圆柱的投影
②根据截平面与投影面的相对位置，确定截交线的投影。
P与R面为水平面，截交线水平投影为实形，即圆的一部分，其他两个投影积聚为线段。Q面为正垂面，截交线正面投影重合为一条线段，其他两个投影为三角形的一部分。
作图，如图3-30（b）所示：
①求特殊点。Ⅰ、Ⅴ、Ⅵ三点为R与圆锥表面相交的点；Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ三点为P与圆锥表面相交的点；同时，Ⅲ、Ⅳ和Ⅴ、Ⅵ又分别为P与Q和R与Q相交的点。根据各点的正面投影先求出其水平投影，再求出其侧面投影。
②本例不需要求一般点。
③连接点并判别可见性。侧面投影中所有点可见。
④检查、整理、描深图线，完成全图，如图3-30（c）所示。
图3-30 带缺口的圆锥的投影
【例3-14】 如图3-31（a）所示，已知半球体被平面P、Q切割后的正面投影，画出其水平投影及侧面投影。
分析：
①根据截平面的数量、截平面与轴线的相对位置，确定截交线的形状。半球体上的缺口是由平面P、Q形成的截断面组成的，从正面投影可以看出平面Q为侧平面，平面P为水平面，截交线都是圆的一部分。
②根据截平面与投影面的相对位置，确定截交线的投影。断面的投影p、q″反映实形，p″、q积聚为线段。
作图，如图3-31（b）所示：
①先作P和Q形成的断面的水平投影。已知P形成的断面的水平投影为圆的一部分，需要找出这个圆的半径。从正面投影可以看出m′n′即为所求半径。作出半球体的水平投影（圆），以水平投影的圆心为圆心、以m′n′为半径画圆弧。再将q′垂直延长到水平投影上，垂线与圆弧交于1、2两点，12即为Q形成的断面的水平投影q，12与圆弧所围成的弓形即为水平投影p。
②用同样的方法可画出p″、q″。
③检查、整理、描深图线，完成全图，如图3-31（c）所示。
图3-31 带切口的半球体的投影
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
