直线与平面及两平面的相对位置可分为平行、相交和垂直（垂直是相交的特例）。
1.平行问题
1）直线与平面平行
直线与平面平行的几何条件：若直线平行于平面上一直线，则直线与该平面平行，如图2-53所示。
若直线平行于投影面垂直面，则该投影面垂直面具有积聚性的投影与直线的同面投影平行，如图2-54所示。
图2-53 直线与平面上一直线平行
图2-54 直线与投影面垂直面平行
【例2-16】 已知直线KL∥△ABC，KL的正面投影k′l′和点K的水平投影k如图2-55（a）所示，求KL的水平投影kl。
分析：直线KL∥△ABC，在△ABC上任作一条直线，使之与KL平行，则这条直线的水平投影必与kl平行。
作图：过a′作a′d′∥k′l′，交b′c′于d′，按投影关系在bc上求出d，连接ad。过k作kl∥ad，与过l′所作的OX轴的垂线相交于l，如图2-55（b）所示，kl即为所求。
图2-55 作一和已知平面平行的直线的水平投影
【例2-17】 已知投影如图2-56（a）所示，过已知点K作一水平线KL与△ABC平行，求作KL的两面投影。
分析：在△ABC上作一水平线AD，过点K作直线KL∥AD，则直线KL的两面投影即为所求。
作图：过a′作a′d′∥OX，交b′c′于d′，按投影规律，在bc上求出d，过k′作k′l′∥OX，过k作kl∥ad，如图2-56（b）所示。
图2-56 作一和已知平面平行的水平线的两面投影
2）两平面平行
两平面平行的几何条件：若一平面上的两相交直线与另一平面上的两相交直线相互平行，则这两个平面相互平行，如图2-57所示。
图2-57 两平面上的相交直线相互平行
若两投影面垂直面相互平行，它们具有积聚性的那组投影相互平行，如图2-58所示。
图2-58 两投影面垂直面相互平行
【例2-18】 已知投影如图2-59（a）所示，过点K作一平面与△ABC平行。
分析：由平面平行的几何条件，过点K作相交直线与△ABC上的两相交直线平行即可。
作图：过k′作k′m′∥a′b′，k′n′∥a′c′，过k作km∥ab和kn∥ac，如图2-59（b）所示。相交直线KM和K N所确定的平面即为所求。
图2-59 作一平面和△ABC平行
2.相交问题
1）直线与平面相交
直线与平面相交，交点是直线与平面的共有点。下面介绍求交点投影的方法。
（1）一般位置直线与特殊位置平面相交。
一般位置直线与特殊位置平面相交，当特殊位置平面在某一投影面上的投影有积聚性时，交点的投影必在平面积聚性投影上，利用这一特性可以求出交点的投影，并判别可见性。判别可见性的方法有目测法和重影点法。
【例2-19】 已知投影如图2-60（a）所示，求作直线BC与铅垂面△EFG的交点K的投影，并判别可见性。
分析：因铅垂面△EFG的水平投影有积聚性，交点K的水平投影k为bc和fg的交点，再利用直线上点的投影特性求出k′，k′是b′c′可见段与不可见段的分界点。
作图：线段bc和fg的交点即为k，过点k作OX轴的垂线，交b′c′于k′，得点K的正面投影，如图2-60（b）所示。c′k′为可见段。
图2-60 求一般位置直线与铅垂面的交点
目测法判别可见性：假设平面是不透明的，交点K把线段BC分成两部分，有一部分被平面遮住看不见，由线段BC和铅垂面△EFG的水平投影可知，CK位于铅垂面△EFG右前方，因此c′k′可见，画成粗实线；b′k′在△e′f′g′内的部分不可见。
重影点法判别可见性：如图2-60（b）所示，正面投影中e′g′和c′k′的交点是线段BC上的点Ⅰ和铅垂面△EFG内EG边上点Ⅱ的重影。由水平投影可知1在2的前方，线段ⅠK可见，1′k′画粗实线，b′k′在△e′f′g′内的部分不可见。
（2）投影面垂直线与一般位置平面相交。
当直线是投影面垂直线时，可利用直线投影的积聚性求交点。
【例2-20】 已知投影如图2-61（a）所示，求作正垂线EF与△BCD的交点K的投影，并判别可见性。
分析：线段EF是正垂线，其正面投影具有积聚性，交点K是线段EF上的一个点，所以K点的正面投影k′和e′（f′）重合，因交点K也在△BCD上，故可利用平面上取点的方法，作出交点K的水平投影k。
作图：e′（f′）与k′重合，连接d′k′并延长，与b′c′交于m′；过m′作OX轴垂线，交bc于m，连接d、m，与ef交于k，k即为点K的水平投影，如图2-61（b）所示。
图2-61 求正垂线与一般位置平面的交点的投影
判别可见性：如图2-61（b）所示，线段EF和△BCD的三边都交叉，取其对水平投影面的重影点Ⅰ（在线段EF上）和点Ⅱ（在线段CD上）的水平投影，正面投影2′在1′的上方，则点Ⅱ的水平投影可见，点Ⅰ的不可见，线段EF上的ⅠK段位于△BCD下方，水平投影不可见，交点K另一侧线段KF位于△BCD上方，其水平投影可见，kf画粗实线。交点K的正面投影k′不可见。
2）平面与平面相交
平面与平面相交，交线是相交两平面的共有线，交线上的点都是相交两平面的共有点，因此，只要能够确定交线上的两个共有点，或者一个共有点和交线方向，即可作出两平面的交线。
（1）两特殊位置平面相交。
【例2-21】 已知投影如图2-62（a）所示，求作铅垂面△ABC与铅垂面△DEF的交线MN的投影，并判别可见性。
分析：因为两个平面都是铅垂面，所以交线为铅垂线，水平投影积聚为点，正面投影垂直于OX轴。
作图：如图2-62（b）所示，定出交线MN的水平投影m（n）；过m（n）作OX轴垂线，与两个三角形的正面投影相交于m′、n′，就得到了交线MN的正面投影。
判别可见性：从水平投影看，在交线MN的左侧，△DEF在△ABC的前方，故△d′e′f′在m′n′左侧可见，而△a′b′c′在m′n′左侧的△d′e′f′范围内不可见；右侧则相反。
图2-62 求两铅垂面的交线的投影
（2）特殊位置平面与一般位置平面相交。
【例2-22】 已知投影如图2-63（a）所示，求铅垂面△DEF与一般位置平面△ABC的交线MN的投影，并判别可见性。
分析：由于铅垂面△DEF的水平投影有积聚性，交线MN的水平投影在其积聚性投影上，故交线的水平投影已知，利用直线上点的投影特性，可求出交线MN的正面投影。
作图：如图2-63（b）所示，依据铅垂面△DEF的积聚性投影，求出交线MN的水平投影mn。点m在ac上，点n在bc上，过m作OX轴垂线，交a′c′于m′；同理，求出交点N的正面投影n′。连接m′、n′，即得交线MN的正面投影。
重影点法判别可见性：如图2-63（b）所示，线段AB、EF上点Ⅰ、Ⅱ的正面投影重合，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，点Ⅰ在线段AB上，点Ⅱ在线段EF上，线段AB可见，则四边形a′b′n′m′可见，画粗实线，其他被遮住的部分不可见。同理，e′f′被四边形a′b′n′m′遮住的部分不可见，其他部分可见。
目测法判别可见性：如图2-63（b）所示，MN是可见与不可见的分界线。以水平投影mn为界，因四边形abnm在积聚性投影的前方，故△a′b′c′的正面投影中，a′b′n′m′可见，画粗实线，被△d′e′f′遮住的部分不可见。同理，△d′e′f′被a′b′n′m′遮住的部分不可见。
图2-63 求铅垂面与一般位置平面的交线的投影
假设光线能够透过物体，将物体各个顶点和各条棱线都在投影面上投射出影子，这些点和线的影子将组成一个能够反映物体形状的图形，这个图形通常称为物体的投影。投影的三要素是投影线、空间形体和投影面。投影法分为中心投影法和平行投影法两大类，平行投影法又分为正投影法和斜投影法。正投影法具有同素性、平行性、从属性、定比性、积聚性、实形性、类似性等特性。三面投影图的投影规律：长对正、高平齐、宽相等。
任何物体都可以看作点的集合。点是基本几何要素，研究点的投影规律是掌握其他几何要素投影规律的基础。
在三面投影体系中，依据直线与投影面的相对位置，可将直线分为三类，即投影面垂直线（铅垂线、正垂线、侧垂线）、投影面平行线（水平线、正平线、侧平线）和一般位置直线。空间两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种。直角投影定理：空间两直线垂直相交，若其中一直线为某投影面平行线，则两直线在该投影面上的投影互相垂直。
根据平面在三面投影体系中的不同位置可将平面分为三类，即投影面垂直面（铅垂面、正垂面、侧垂面）、投影面平行面（水平面、正平面、侧平面）和一般位置平面。直线与平面及两平面的相对位置可分为平行、相交和垂直（垂直是相交的特例）。
一、选择题
1.在制图中，把光线称为（ ）。
A.投影中心 B.投影线 C.投影面 D.投影法
2.在制图中，把承受影子的面称为（ ）。
A.投影中心 B.投影线 C.投影面 D.投影法
3已知点A（20，0，0）和点B（20，0，10），关于点A和点B的相对位置，哪一种判断是正确的？（ ）。
A.点B在点A前面 B.点B在点A上方，且重影于V面上
C.点A在点B前面 D.点A在点B下方，且重影在OX轴上
4.在投影中心与投影面距离不变的情况下，形体距投影中心愈近，影子（ ）。
A.愈大 B.愈小 C.不变 D.无法确定
5.已知点A（0，10，25）和点B（0，15，25），关于点A和点B的相对位置，哪一种判断是正确的？（ ）。
A.点A在点B前面 B.点B在点A上方，且重影于V面上
C.点B在点A前面 D.点A在点B前面，且重影在OZ轴上
6.由一点放射投影线所产生的投影称为（ ）。
A.中心投影 B.水平投影 C.垂直投影 D.正投影
7.在三面投影图中，侧面投影图能反映形体的尺寸是（ ）。
A.长和高 B.长和宽 C.高和宽 D.长、宽和高
8.形成物体的基本几何元素包括（ ）。
A.点、直线和平面 B.点、曲线和曲面 C.点、曲线和平面 D.曲面、曲线、直线
9.点的正投影仍然是点，直线的正投影一般仍为直线（特殊情况除外），平面的正投影一般仍为原空间几何形状的平面（特殊情况除外），这种性质称为正投影的（ ）。
A.同素性 B.从属性 C.定比性 D.平行性
10.点在直线上，点的正投影一定在该直线的正投影上，点、直线在平面上，点和直线的正投影一定在该平面的正投影上，这种性质称为正投影的（ ）。
A.同素性 B.从属性 C.定比性 D.平行性
11.线段上的点将该线段分成的比例，等于点的正投影将线段的正投影所分成的比例，这种性质称为正投影的（ ）。
A.同素性 B.从属性 C.定比性 D.平行性
12.两直线平行，两直线上线段的长度之比等于线段正投影的长度之比，这种性质称为正投影的（ ）。
A.同素性 B.从属性 C.定比性 D.平行性
13.当线段或平面平行于投影面时，其线段的投影长度反映线段的实长，平面的投影与原平面图形全等，这种性质称为正投影的（ ）。
A.同素性 B.从属性 C.定比性 D.实形性
14.当直线或平面垂直于投影面时，直线的正投影积聚为一个点，平面的正投影积聚为一条直线。这种性质称为正投影的（ ）。
A.积聚性 B.从属性 C.定比性 D.实形性(www.xing528.com)
15.直线AB的V面投影反映实长，该直线为（ ）。
A.水平线 B.正平线 C.侧平线 D.侧垂线
二、填空题
1.工程上常采用的投影法是_________和平行投影法，其中平行投影法按投影线与投影面是否垂直又分为________和________。
2.当直线平行于投影面时，其投影_________，这种性质叫_________性；当直线垂直于投影面时，其投影________，这种性质叫________性；当平面倾斜于投影面时，其投影________，这种性质叫_________性。
3.主视图所在的投影面称为_________，用字母_________表示；俯视图所在的投影面称为________，用字母________表示；左视图所在的投影面称为________，用字母________表示。
4.三视图的投影规律是：主视图与俯视图_________；主视图与左视图_________；俯视图与左视图_________。
5.直线按其对三个投影面的相对位置关系的不同，可分为________、________和________。
6.与一个投影面垂直的直线，一定与其他两个投影面_________，这样的直线称为_________。
7.与一个投影面平行、与其他两个投影面倾斜的直线，称为_________，具体又可分为________、________和________。
8.空间平面按其对三个投影面的相对位置的不同，可分为_________、_________和_________。
三、判断题
1.当直线相对投影面倾斜时，直线的投影等于实长。（ ）
2.水平投影：从形体的上方向下方投影，在W面上得到的视图。（ ）
3.当直线垂直于投影面时，它在该投影面上的投影积聚为一点。（ ）
4.点的单面投影不能唯一确定点的空间位置。确定点的空间位置，至少需要两个投影面的投影。（ ）
5.点的投影仍然是点，直线的投影也可以是点。（ ）
6.中心投影法就是投影线互相平行的投影法。（ ）
7.当线段倾斜于投影面时，它在该投影面上的投影是缩短了的线段。（ ）
8.垂直于一个投影面的直线，必然平行于另外两个投影面。（ ）
四、简答题
1.正投影有哪些特性？
2.什么是重影点？如何解释其可见性？
3.试述直线投影规律。
4.试述直线投影的定比性。
五、工程制图与识图
1.已知点的两面投影如题图2-1所示，作出第三面投影。
2.已知A、B、C三点的各一投影a、b′、c″如题图2-2所示，且Bb′=10，Aa=20，Cc″=5。完成各点的三面投影，并用直线连接各面投影。
题图2-1
题图2-2
3.已知点A（22，8，5）、B（6，15，18），单位为mm，在题图2-3中求作点A和点B的三面投影，并比较两点的空间位置。
点A在点B之_________（前、后）_________mm；
点A在点B之________（左、右）________mm；
点A在点B之_________（上、下）_________mm。
题图2-3
4.如题图2-4所示，求下列直线的第三面投影，并判别各直线与投影面的相对位置。
题图2-4
5.已知水平线AB与铅垂线MN相交于点M，投影如题图2-5所示，试完成两直线的三面投影图。
6.如题图2-6所示，作图判别点K是否在直线AB上。
题图2-5
题图2-6
7.如题图2-7所示，在直线AB上取一点C，使AC∶CB=4∶3。作出C点的两面投影。
8.如题图2-8所示，已知AB∥W面，AB=20 mm，α=30°，点B在A的后上方，求作AB的三面投影。
题图2-7
题图2-8
9.如题图2-9所示，作图求AB的实长和它与水平面的倾角α。
10.如题图2-10所示，作图求AB的实长和它与正面投影面的倾角β。
题图2-9
题图2-10
11.已知a′b′及b（见题图2-11），β=30°，且A在B之前，作图求AB的实长及ab。
题图2-11
12.如题图2-12所示，作直线GH，使其与EF和CD相交且与AB平行。
题图2-12
13.判别题图2-13中两直线的相对位置。
题图2-13
14.如题图2-14所示，过点K作一直线与AB和CD都相交。
15.如题图2-15所示，判别交叉直线重影点的可见性。
题图2-14
题图2-15
16.已知AB的H、V面投影和K点的V面投影，如题图2-16所示，过K点作水平线KL与AB垂直相交，L为垂足。求作KL的两面投影。
题图2-16
17.如题图2-17所示，求点M到水平线AB的距离。
题图2-17
18.如题图2-18所示，求点N到正平线AB的距离。
题图2-18
19.如题图2-19所示，求直线AB与CD的距离。
题图2-19
20.如题图2-20所示，已知△ABC等腰三角形，C点在直线DE上，AB∥V面，求作△ABC的两面投影。
21.如题图2-21所示，已知AB∥V面，AB垂直于BC，BC=30 mm，C点在V面上，C在B之下，求BC的两面投影。
题图2-20
题图2-21
22.如题图2-22所示，求平面内点的另一个投影。
题图2-22
23.补画出题图2-23中平面的第三个投影，并判断平面与投影面的相对位置。
题图2-23
24.如题图2-24所示，求三角形ABC所在平面内的直线EF的H面投影。
25.如题图2-25所示，求平面ABCD内字母“A”的另一面投影。
题图2-24
题图2-25
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