无人驾驶车辆速度跟踪预测控制器设计

1.速度跟踪的MPC问题建模

与大多数前期研究类似，车辆的纵向控制可使用一阶惯性系统来表示：

其中，K=1为系统增益；τd为时间常数。车辆纵向运动的连续系统状态方程可表示为

其中，x=[v　a]T为系统状态向量；u=ades为系统控制输入。

通过向前欧拉法(Forward Euler，FE)可得到离散系统状态方程：

其中，k为当前采样时刻；k+1为下一采样时刻；Ts为采样周期。

速度v作为系统输出，输出方程可表示为

系统控制目标是速度跟踪精度，同时为避免过大的加速度和冲击度(加速度变化率绝对值)，将性能评价函数定义为

其中，t-1为上一采样时刻；Np为预测步长；Nc为控制步长；yp(k+i|k)为控制输出预测值；yref(k+i|k)为控制输出参考值；(k+i|k)表示根据k采样时刻的信息来预测k+i时刻的值，其中i=1，2，…，Np；u(k+i)和Δu(k+i)分别是k+i时刻控制输入和控制输入增量，其中i=0，1，…，Nc-1；Q和R分别是系统输出量、控制增量和控制量权重系统矩阵。式(3.6)等号右边的第一项反映了系统对参考轨线的跟随能力，第二项反映了对控制量平稳变化的要求，整个表达式的功能是使系统能够尽快且平稳地跟踪上期望的轨迹。

系统约束为加速度及其变化率，表示为

其中，umin和umax为加速度阈值；Δumin和Δumax为加速度增量的阈值。

MPC控制的基本原理是在满足控制约束式(3.7)和式(3.8)的前提下使得性能评价函数式(3.6)最小，每个控制周期解决如下优化问题：

满足：(1)对象模型——式(3.4)；

(2)控制约束——式(3.7)和式(3.8)。

通常将优化问题式(3.9)转化为标准的二次规划问题进行求解。

2.MPC问题与二次型规划问题的转化(www.xing528.com)

针对纵向运动离散状态方程式(3.4)，构建新的状态向量ξ(k|t)=[x(k)　u(k-1)]T，可以得到一个新的状态空间表达式：

为了使整个关系更加明确，将系统未来时刻的输出以矩阵的形式表达：

其中，

通过观察式(3.13)，我们可以清楚地看到，在预测时域内的状态量和输出量都可以通过系统当前的状态量ξ(k)和控制时域内的控制增量ΔU计算得到，这也就是模型预测控制算法中“预测”功能的实现。

定义参考输出向量为Yref(k)=[ηref(k+1)，…，ηref(k+Np)]T，令E=Ψξ(k)，将式(3.13)代入优化目标式(3.6)可以得到

其中，QQ=INp⊗Q，RR=INp⊗R，⊗表示Kroneck乘积。公式中矩形框内的部分为常数，在优化求解时可忽略不计，则性能评价函数可以写作

令H=ΘTQQΘ+RR，g=ΘTQQ(E-Yref)，则式(3.15)可改写为

在优化求解时，式(3.16)等价于

考虑到控制量与控制增量存在如下关系：

注意到式(3.7)和式(3.8)的约束对象分别为控制量和控制量的增量，在优化前需要将约束条件中的变量统一，式(3.7)和式(3.8)可以转换为以下形式：

其中，Ut=1Nc⊗u(k-1)，1Nc是行数为Nc的列向量，u(k-1)为上一时刻实际的控制量，Umin、Umax分别为控制时域内控制量的最小值、最大值集合，ΔUmin、ΔUmax分别为控制时域内控制增量的最小值、最大值集合，Ak=

至此，模型预测控制的优化求解问题式(3.9)可转化为一个标准二次型规划问题：

针对式(3.21)可以使用MATLAB提供的QP求解器quadprog进行求解，得到控制时域内的一系列控制输入增量：

根据模型预测控制的基本原理，将该控制序列中第一个元素Δu∗(k)作为实际的控制输入增量作用于系统，即

系统执行这一控制量直到下一时刻。在新的时刻，系统根据状态信息重新预测下一段时域的输出，通过优化过程得到一个新的控制增量序列。如此循环往复，直至系统完成控制过程。