最小二乘法在大学物理实验中的应用

把实验结果画成图线，可形象表示物理量之间的相互关系，但按照前述作图法画图线，有一定的主观随意性，作图法得到的参数可靠性也随之受影响，同一组实验数据可能得到不同结果.而利用最小二乘法确定拟合曲线的参数是以误差理论为依据的严格方法，可准确求得两个测量值之间的函数关系（即经验方程），由实验数据求经验方程，称之为方程回归.由于这种方法涉及很多数理统计知识，这里只作初步介绍，而且只考虑最简单的线性回归问题.

最小二乘法首先要预设函数关系，设变量x，y满足线性关系，即上式中k，b为函数式的参数，自变量只有一个，故也称为一元线性回归.设测得一组数据为（xi，yi），其中i=1，2，…，n.在一元线性回归问题中，需要根据实验数据（xi，yi）确定参数k，b，相当于在作图法中求直线的斜率和截距.

我们讨论最简单的情况，即多次测量是等精度测量，且假定x，y值中x值是准确的，只有y值有明显随机误差.若实际问题中，x，y值均有误差，只要把误差相对较小的变量作为x即可.

最小二乘法的线性拟合原理：若最佳拟合直线为y=kx+b，则各测量值yi与该拟合直线上相应的各值之间的偏差的平方和最小.每一次测量值yi与按拟合方程计算出来的y值之间的偏差为

最小二乘法线性拟合原理也可表达为

由数学知识可知，所求的参数k，b是下列方程的解：

式中，

这样，由式（1-5-2），式（1-5-3）算出参数k，b后所确定的方程y=kx+b，就是由实验数据（xi，yi）所拟合的最佳直线方程，即线性回归方程.

对于回归方程y=kx+b的确定，在于预先假设了两变量之间存在线性关系.若两变量之间的关系在理论上还不确定，那么只能靠实验数据的趋势来推测.若假设两变量是线性关系，则还需要验证这个假设是否合理，这可通过一元线性回归的相关系数r来判断，r定义为

相关系数r表示两个变量x，y之间的关系与线性函数符合的程度，r值总在0与±1之间.若r=±1，表示变量x，y完全线性相关；若｜r｜≪1，说明变量x，y不存在线性关系，不能用线性函数拟合.

有些非线性关系，可通过一定的变换转化为线性关系，从而利用最小二乘法进行实验数据的处理.例如曲线方程y=cxb，可等式两边取自然对数，得lny=lnc+blnx，再令Y=lny，X=lnx，a=lnc，就得到线性方程Y=a+bX.

很多计算器都有最小二乘法的线性拟合功能，只要输入x，y的数据，即可得到斜率k、截距b和相关系数r，而不必用公式进行繁琐计算.

实验数据处理还常常借助于计算机进行，例如利用Excel，Origin等通用软件可节约大量繁琐的人工计算和画图工作，减少中间环节的计算错误，节省时间，提高效率.有关Excel，Origin等软件的实验数据处理方法，请读者自行查阅相关书籍和资料，在此不作介绍.

参考文献

[1] 李宾中.医学物理学实验教程[M].北京：科学出版社，2010.

[2] 冀敏，陆申龙.医学物理学实验[M].北京：人民卫生出版社，2009.

[3] 黄义清，李斌，周有平.大学物理实验教程[M].北京：电子工业出版社，2016.

[4] 俞航，匡宝平.医用物理学实验（第3版）[M].北京：科学出版社，2015.

[5] 陆廷济，胡德敬，陈铭南.物理实验教程[M].上海：同济大学出版社，2000.

[6] 沈元华，陆申龙.基础物理实验[M].北京：高等教育出版社，2003.

自学提纲

1.什么是直接测量？什么是间接测量？判断下列测量是直接测量还是间接测量？

（1）用天平测量物体的质量.

（2）用米尺测量某长方形的面积.

（3）用带有指针和读数刻度的电流表测量电路中的电流强度.

（4）用千分尺测量钢丝的横截面积.

（5）用量筒测量液体体积.

2.什么是系统误差？什么是随机误差？两者各有什么特点？指出下列情况属于系统误差还是随机误差.

（1）木制米尺弯曲所引起的误差.

（2）天平不等臂引起的误差.

（3）天平平衡时指针的停点重复几次都不同所引起的误差.

（4）做电学实验时电源不稳定引起的误差.

（5）水银温度计毛细管不均匀引起的误差.

3.工厂生产的仪器经检定为合格品，用它测量会有误差吗？(www.xing528.com)

4.同一被测量的多次测量值，相互差异很小，说明测量的误差很小，对不对？

5.如何解释测量的精密度、准确度和精确度？

6.当测量次数n→∞时，随机误差的分布呈现什么特点？为何多次测量可以减少随机误差？

7.对某一物理量进行n次等精度测量，得到测量列x1，x2，…，xn，真值A的最佳估计值如何计算？测量结果的离散程度如何表征？

8.简述不确定度的概念、分类及引入不确定度的意义.

9.测量结果的不确定度表达有何具体规范？下列结果表达都有错误，请改成规范形式.

（1）L=（3.07±0.0288）cm；

（2）L=22.5km±200m；

（3）E=（1.945×1011±5.782×109）N·m-2；

（4）q=（1.61248±0.28765）C；

（5）v=（346.256±0.846）m·s-1.

10.某电阻的测量结果为R=（35.78±0.05）Ω（P≈68%），下列各种解释中哪个是正确的？

（1）被测电阻值是35.73Ω或是35.83Ω；

（2）被测电阻值在35.73～35.83Ω；

（3）在35.73～35.83Ω范围内含被测电阻真值的概率约为68%；

（4）用35.73Ω表示被测电阻时，其测量误差的绝对值小于0.05Ω的概率约为68%.

11.在物理实验中，为何测量值的有效数字不能随意确定？下列记录中，按有效数字要求哪个是正确的？

（1）用温度计（分度值为1℃）测温度（ ）.

（A）68℃　（B）68，4℃　（C）68，58℃

（2）用一级千分尺（允差为0.004mm）测量钢丝直径（ ）.

（A）0.5mm　（B）0.52mm　（C）0.520mm　（D）0.5284mm

（3）（A）28cm=280mm，　（B）550cm=5.5m，　（C）340cm=3.40m，　（D）150cm=1.5×103cm.（ ）

12.间接测量结果需要通过运算才能得到，试问运算结果的有效数字如何取舍？按有效数字运算规则计算下列各式.

（1）3.6+57.345；

（2）67.74-3.234；

（3）57.8×3.2306；

（4）57.83+2.3；

（5）36.732；

（6）

（7）

13.用单摆测量重力加速度g，数据如下，试求重力加速度的测量值和不确定度，并写出测量结果.

14.实验中常用的数据处理方法有哪一些？作图法有何具体规则？请按上题数据，根据作图规则，以L为横轴、T2为纵轴作直线，并根据作图法求重力加速度.

15.什么是最小二乘法的线性拟合原理？如何计算斜率和截距？相关系数有何含义？