建筑制图与识图：认识点、线、面投影

【任务内容】

（1）点的三面投影规律以及彼此的位置关系和作图方法。

（2）直角三角形法求一般位置直线与投影面的倾角以及线段的实长的方法；用定比方法确定直线上点的投影；两直线位置关系的判断。

（3）在投影图上可利用几何元素来表示平面。但是，形体上任何一个平面图形都有一定的形状、大小和位置。从形状上看，常见的平面图形有三角形、矩形和正多边形等直线轮廓的平面图形。

【任务分析】

空间物体都是由面围成的，面为线的轨迹，线则是点的轨迹。因此，点是最基本的集合元素。学习和掌握集合元素的投影规律和特性，才能透彻理解工程图样所表达物体的具体结构形状。

【任务实施】

一、点的投影

1.点的投影和三面投影规律

点的投影仍然是点，如图2-3-1 所示。设空间有一点A，自A 分别向3 个投影面作垂线（即投影线），得3 个垂足a，a′，a″。a，a′，a″分别表示A 点在H 面、V 面、W 面的投影。通常规定空间点用大写字母，如A，B，C，…表示，其投影用相应的小写字母，如a，b，c，…表示，如图2-3-1 所示。这样，A 点到W 面的距离为A 点的X 坐标，A 点到V 面的距离为A 点的Y 坐标，A 点到H 面的距离为A 点的Z 坐标。若用坐标值确定点的空间位置时，可用规定形式书写为

图2-3-1　点的三面投影

由作图可知，面， 面，面，则通过所作的平面P 必然同时垂直于H 面和V 面。当然，也垂直于H 面与V 面的交线OX 轴。它与OX 轴的交点用ax 表示，显然Aa′axa 是一矩形。同理，Aa″aya 和Aa′aza″也是矩形。这3 个矩形平面都与相应的投影轴相交，且是正交，并与3 个投影面的相应矩形围成一长方体。因长方体中相互平行棱线长度相等，故可得点与3 个投影面的关系为

可知，空间点在某一投影面上的投影都是由该点的两个坐标值决定的。点a 由Oax 和Oay，即A 点的XA，YA 两坐标决定；点a′由Oax 和Oaz，即A 点的XA，ZA 两坐标决定；点a″由Oay 和Oaz，即A 点的YA，ZA 两坐标决定。如图2-3-1（a）所示，将三投影面展开，使其与V 面成同一平面。为便于进行投影分析，用细实线将点的两面投影连接起来得到aa′和a′a″（称为投影连线），分别与X，Z 轴相交于ax 和az 点。由于Y 轴展开后分为YH 和YW，因此，在作图时：一种方法是采用以O 点为圆心画弧ayH 和ayW，如图2-3-1（b）所示；另一种方法是自O 点作45°斜线，再从ayH 引Y 轴的垂线与45°斜线得交点，再从此点引YW 的垂线与由a′引出的Z轴的垂线交点，即a″点。

注：在投影面上通常只画投影轴，不画投影面的边界，如图2-3-1（c）所示。

按照点与三投影面的关系，由立体展开成平面，可得出点的三面投影规律：

①点的正投影和水平投影的连线垂直于X 轴，即 两投影都反映横坐标，表示空间点到侧投影面的距离，即

②点的正面投影a′和侧面投影a″的连线垂直于Z 轴，这两个投影都反映空间点的Z 坐标，表示点到水平面的距离，即

③点的水平投影到X 轴的距离等于其侧面投影到Z 轴的距离，这两个投影都反映空间的Y 坐标，表示空间点到正投影面的距离，即

显然，点的投影规律和前面所述的三视图的画图规则“长对正，高平齐，宽相等”是一致的。

其应用如下：

①根据点的投影规律，可由点的3 个坐标值X，Y，Z，画出其三面投影图。

②可根据点的两面投影图，作出第三投影图。

例2-3-1　如图2-3-2 所示，已知点A 的水平投影a 和正面投影a′，求其侧面投影a″。

图2-3-2　题目

图2-3-3　求解

解：利用“长对正，宽相等，高平齐”的方位相等关系，可作出如图2-3-3 所示YH 和YW 中间的斜45°辅助线，然后过a′和a 分别作出平行于相应投影轴的线，最终作出一个以三投影为顶点的方形，且方形的第四个顶点就在45°辅助线上。

2.两点的相对位置和重影点

1）两点的相对位置

两点的相对位置根据相对于投影面的距离确定，如图2-3-4 所示。

①距离W 面远者在左，近者在右（根据V，H 的投影分析）。

②距离V 面远者在前，近者在后（根据H，W 面的投影分析）。

③距离H 面远者在上，近者在下（根据V，W 面的投影分析）。

总的结论是：A 点在B 点的右前上方，B 点在A 点的左后下方。

图2-3-4　两点的相对位置

2）重影点

当两点的某个坐标相同时，该两点将处于同一投影线上。因此，对某一投影面具有重合的投影，则这两个点的坐标称为对该投影面的重影点。在投影图上，如果两个点的投影重合，则对重合投影所在的投影面的距离（即对该投影面的坐标值）较大的那个点是可见的，而另一个点是不可见的，应将不可见的点用括号括起来。

如图2-3-5—图2-3-7 所示分别为H 面、V 面、W 面上的重影点。

图2-3-5　H 面上的重影点A 和B

图2-3-6　V 面上的重影点C 和D

图2-3-7　W 面上的重影点E 和F

二、直线的投影

空间两点确定一条空间直线段。空间直线段的投影一般仍为直线。如图2-3-8 所示，将直线AB 向H 面投影，因线段上的任意两点可确定线段在空间的位置，故直线段上两端点A，B的同面投影a，b 的连线就是线段在该面上的投影。

直线与投影面之间的夹角，称为倾角。规定直线与H，V，W 之间的倾角分别用希腊字母α，β，γ 来表示，如图2-3-8 所示。

图2-3-8　空间线段的投影

1.直线段对一个投影面的投影

空间直线段相对于一个投影面的位置有倾斜、平行和垂直3 种。3 种不同的位置具有不同的投影特性。

1）收缩性

当直线段AB 倾斜于投影面时（见图2-3-9（a）），它在该投影面上的投影长度比空间AB 线段缩短了，这种性质称为收缩性。

2）真实性

当直线段AB 平行于投影面时，它在该投影面上的投影与空间AB 线段相等，这种性质称为真实性，如图2-3-9（b）所示。

3）积聚性

当直线段AB 垂直于投影面时，它在该投影面上的投影重合于一点，这种性质称为积聚性，如图2-3-9（c）所示。

图2-3-9　线段的投影特性

2.直线段在三面投影体系中的投影特性

空间线段因对3 个投影面的相对位置不同，可分为3 种：投影面的平行线、投影面的垂直线和投影面的一般位置直线（倾斜线）。前面两种称为特殊位置直线，后一种称为一般位置直线。

1）投影面的平行线

平行于一个投影面而对另两个投影面倾斜的直线段，称为投影面的平行线。

正平线——平行于V 面的直线段。

水平线——平行于H 面的直线段。

侧平线——平行于W 面的直线段。

表2-3-1 所示列出了3 种投影面的平行线的投影特点和性质。

表2-3-1　投影面平行线的投影特性

续表

以水平线为例，按照定义，它平行于H 面，线上所有点与H 面的距离都相同，这就决定了它的投影特性是：

①AB 的水平投影ab=AB ，即反映实长。

②正面投影平行于OX 轴，即a′b′∥OX 轴。

③侧面投影平行于OYW 轴，即a″b″∥OYW 轴。

④水平投影ab 与OX 轴的夹角，反映该直线对V 面的倾角β；水平投影ab 与OY 轴的夹角，反映该直线对W 面的倾角γ。

其他二投影面平行线的分析同上。

投影面平行线的投影特性概括为：

①在直线段所平行的投影面上的投影反映实长，且其投影与投轴的夹角反映直线与另两投影面的倾角。

②另两投影面平行于相应的投影轴（构成所平行的投影面的两根轴）。

投影面平行线的辨认如下：

①当直线的投影有两个平行于投影轴时。

②第三投影与投影轴倾斜时，则该直线一定是投影面的平行线，且一定平行于其投影为倾斜线的那个投影面。

2）投影面的垂直线

垂直于一个投影面，即与另两个投影面都平行的直线段，称为投影面的垂直线。投影面垂直线有以下3 种：

铅垂线——直线⊥H 面。

正垂线——直线⊥V 面。

侧垂线——直线⊥W 面。

表2-3-2 列出了3 种投影面垂直线的投影特点及性质。

表2-3-2　投影面垂直线的投影特性

投影面垂直线的投影特性概括为：

①在所垂直的投影面貌上的投影积聚为一点。

②在另两个投影面上的投影，垂直于相应的投影轴，且反映直线段的实长。

如何判断投影面的垂直线？ 根据投影面垂直线的投影特性来判断即可。

3.投影面的一般位置直线

由直线段对一个投影面的投影特性可知，当直线倾斜于投影面时，它在投影面上投影的长度比空间线段的长度缩短了，具有收缩性，如图2-3-10 所示。此特性对在三面投影体系中的倾斜（一般位置）线段同样适用。因此，同理可得在三面投影体系中的投影特性为：

①3 个投影都是一般倾斜线段，且都小于线段的实长。

②三面投影都与投影轴倾斜，投影与投影轴的夹角，均不反映直线段对投影面的倾角。

判断：若直线段的投影与3 个投影轴都倾斜，可判断该直线为一般位置直线。

4.两直线的相对位置

1）平行两直线

①平行两直线的所有同面投影面都互相平行。

图2-3-10　一般位置直线的投影

②若两直线的同面投影均互相平行，则空间两直线必定互相平行。(www.xing528.com)

③判定方法：

a.一般情况下，只要看它们的两个同面投影是否平行就可以了。

b.特殊情况，当两直线为某一投影面平行线时，则需根据它们在所平行的那个投影面上的投影是否相互平行进行判定。

2）相交两直线

①若空间两直线相交，则它们的所有同面投影都相交，且各同面投影的交点之间的关系符合点的规律，这是因为交点是两直线的共有点，如图2-3-11 所示。

图2-3-11　两相交直线的投影

②若两直线的各同面投影都相交，且交点的投影符合点的投影规律，则该两直线必相交。

③特殊情况：当直线为某一投影面平行线时，它们是否相交需进一步判断。通常有以下两种方法：

a.用定比方法判定。

b.用两条直线的第三投影来判定。

3）交叉两直线

如图2-3-12 所示，交叉两直线的同面投影可能相交，但各投影的交点不符合点的投影规律。交叉两直线上对该投影面的一对重影点的投影，可用它来判断这两直线的相对位置。

图2-3-12　交叉两直线的投影

4）直角投影定理

（1）定理

①空间两条互相垂直的直线，如果其中一条为某一投影面的平行线，则它们在该投影面上的投影仍互相垂直。

②逆定理也成立。

③垂直交叉的两直线仍具有上述特性。

（2）定理的应用

例2-3-2　已知直线AB∥V 面，过点C 作一直线与AB 垂直相交，如图2-3-13（a）所示。

解：因直线AB 为正平线，故根据直角投影定理，过点C 与AB 垂直相交的直线在正面上的投影与a′b′垂直。

作图步骤如下（见图2-3-13（b））：

①过c′作c′k′⊥a′b′，交a′b′于k′。

②过k′作X 轴的垂线交ab 于k。

③连ck，则ck，c′k′即所求。

图2-3-13　例2-3-1 图

例2-3-3　已知菱形ABCD 的对角线BD 的两个投影和另一对角线AC 的一个端点A 的水平投影a，求作菱形的两面投影图，如图2-3-14（a）所示。

解：菱形的对角线必互相垂直平分且对边互相平行。根据BD 为正平线和直角投影定理及平行两直线的投影必平行，作图步骤如下（见图2-3-14（b））：

①过a 和bd 的中点k 作对角线AC 的水平投影ac，且使ak=kc。

②由k 得k′，过k′作b′d′的垂直平分线。

③由a 得a′，由c 得c′，a′c′即对角线AC 的正面投影。

④依次连接a，b，c，d 和a′，b′，c′，d，即得菱形ABCD 的两面投影。

图2-3-14　例2-3-2 图

三、平面的投影

由初等几何学可知，不在一条直线上的3 点、一条直线和线外一点、两平行直线以及两相交直线可决定一平面；在投影图上，可利用几何元素来表示平面。但是，形体上任何一个平面图形都有一定的形状、大小和位置。从形状上看，常见的平面图形有三角形、矩形和正多边形等直线轮廓的平面图形。

1.平面的表示方法

平面的表示方法如下（见图2-3-15）：

图2-3-15　几何元素表示平面

①不在一条直线上的3 点。

②一条直线和线外一点。

③两平行直线。

④两相交直线。

⑤任意一平面图形。

2.平面形在三面投影体系中的特性

平面形的投影一般仍为平面形，特殊情况下为一条直线。

平面形投影的作图方法是将图形轮廓线上的一系列点（多边形则是其顶点）向投影面投影，即得平面形投影。三角形是最简单的平面形。如图2-3-16 所示为将△ABC 3 顶点向三投影面进行投影的直观图和三面投影图。其各投影即三角形之各顶点的同面投影的连线。其他多边形的作法与此类似。由此可知，平面形的投影，实质上仍是以点的投影为基础而得的投影。

平面形在三面投影体系中的位置可分为以下3 种：

1）一般位置平面——对3 个投影面都倾斜的平面

对3 个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面。如图2-3-16 所示为一般位置的三角形平面的投影情况，由于它对3 个投影面都倾斜，因此，3 个投影仍为三角形，且不反映实形，都比实形缩小了。

图2-3-16　一般位置平面的投影

由此得到一般位置平面的投影特性如下：

（1）类似性

在3 个投影面上的投影均为相仿的平面图形，且形状缩小。

（2）判断

平面的三面投影都是类似的几何图形，该平面一定是一般位置平面。

2）投影面平行面——平行于一个投影面的平面

平行于一个投影面也即同时垂直于其他两个投影面的平面，称为投影面平行面。投影面平行面有3 种：水平面（∥H 面）、正平面（∥V 面）和侧平面（∥W 面）。表2-3-3 列出了3 种投影面平行面的投影特点及性质。

3 种投影面平行面的投影特征如下：

（1）真实性

如平面用平面形表示，则在其所平行的投影面上的投影，反映平面形的实形。

（2）积聚性

在另外两个投影面上的投影为直线段（有积聚性）且平行于相应的投影轴。

表2-3-3　投影面平行面的投影特性

（3）判断

若在平面形的投影中，同时有两个投影分别积聚成平行于投影轴的直线，而只有一个投影为平面形，则此平面平行于该投影所在的那个投影面。该平面形投影反映该空间平面形的实形。

3）投影面垂直面——垂直于一个投影面的平面

仅垂直于一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。投影面垂直面有3 种：铅垂面（⊥H 面）、正垂面（⊥V 面）和侧垂面（⊥W 面）。表2-3-4 列出了3 种投影面垂直面的投影特点及性质。

3 种投影面垂直面的投影特征如下：

（1）积聚性

在其所垂直的投影面上的投影为倾斜直线段，该倾斜直线段与投影轴的夹角反映该平面对相应投影面的倾角。

（2）相仿性

若平面用平面形表示，则在另外两个投影面上的投影仍为平面形，但不是实形。

表2-3-4　投影面垂直面的投影特性

（3）判断

若平面形在某一投影面上的投影积聚成一条倾斜于投影轴的直线段，则此平面垂直于积聚投影所在的投影面。

【任务拓展】

1.点到平面的距离

确定点到平面的距离，只要把已知的平面变换成垂直面，点到平面的实际距离就可反映在投影图上了。

例2-3-4　如图2-3-17 所示，用变换V 面的方法，确定点D 到△ABC 的距离。

解：其作图步骤如下：

①因△ABC 中的AC 为水平线，故直接取新轴O1X1⊥ac。

②再作出D 面和△ABC 的新投影d′1 和a′1b′1c′1（为一直线）。

③过点d′1 向直线a′1b′1c′1 作垂线，得垂足的新投影k′1，投影d′1k′1 之长即所求的距离。

图2-3-17　点到平面的距离

2.点到直线的距离及其投影

例2-3-5　如图2-3-18（a）所示，已知线段AB 和线外一点C 的两个投影，求点C 到直线AB 的距离，并作出C 点对AB 的垂线的投影。

解：要使新投影直接反映C 点到直线AB 的距离，过C 点对直线AB 的垂线必须平行于新投影面，即直线AB 或垂直于新的投影面，或与点C 所决定的平面平行于新投影面。要将一般位置直线变为投影面的垂直线，必须经过二次换面，因垂直一般位置直线的平面不可能又垂直于投影面。因此，要先将一般位置直线变换为投影面的平行线，再由投影面平行线变换为投影面的垂直线。

图2-3-18　求点到直线的距离及其投影

作图步骤如下：

①求C 点到直线AB 的距离。在图2-3-18（a）中，先将直线AB 变换为投影面的正平线（∥V1 面），再将正平线变换为铅垂线（⊥H2 面），C 点的投影也随着变换过去，线段c2k2 等于C 点到直线AB 的距离。

②作出C 点对直线AB 的垂线的旧投影。如图2-3-18（b）所示，由于直线AB 的垂线CK在新投影体系V1H2 中平行于H2 面，因此，CK 在V1 面上的投影c′1d′1 ∥O2X2 轴，而与c′1d′1 ⊥a′1b′1。据此，过c′1 点作O2X2 轴的平行线，就可得到k′1 点，利用直线上点的投影规律，由k′1 点返回去，在直线AB 的相应投影上，先后求得垂足K 点的两个旧投影k 点和k′点，连接c′k′，ck。c′k′，ck 即C 点对直线AB 的垂线的旧投影。

3.两交叉直线之间的距离

两交叉直线之间的距离应用它们的公垂线来度量。

分析：

①当两交叉直线中有一条直线是某一投影面的垂直线时，不必换面即可直接求出两交叉直线之间的距离。

②当两交叉直线中有一条直线是某一投影面的平行线段时，只需要一次换面即可求出两交叉直线之间的距离。

③当两交叉直线都是一般位置直线时，则需要进行二次换面才能求出两交叉直线之间的距离。

例2-3-6　如图2-3-19 所示，已知两条交叉直线AB，CD，求两直线间的距离。

图2-3-19　两交叉直线之间的距离

解：作图方法和步骤如下：

①因AB，CD 两直线在V/H 体系中均为一般位置直线，故需要二次换面。先用V1 面代替V 面，使V1 面∥AB，同时V1 ⊥H 面。此时，AB 在新投影体系V1/H 中为新投影面的平行线。在新投影体系中，求出AC，CD 的新投影a′1b′1，c′1d′1。

②在适当的位置引新投影轴O2X2⊥a′1b′1，用H2 代替H 面，使H2 面⊥a′1b′1。