1）根据测度关系计算分形维数
如果分形具有非整数维数，周长与面积关系的分形计算模型与测度关系模型是相似的，此首先由Mandelbrot提出，可以根据其定义来求解分形维数，定义一个规则的立方体，其长度为L，面积为S，体积为V。如果改变其一个变量，例如L，当L增加到原来的2倍，则其面积就增加到原来的4倍，其体积则增加到原来的8倍。
由此当L扩大多少倍，其S1/2与V1/3也同样扩大多少倍，因此可定义一具有D维度的量维Y，则
因此，可以据此计算分形对象的维数。同样的对于一个二维图形，其周长为L，面积为S，则其周长与面积的关系可以定义为：
其中，L为图形的周长，S为图形的面积，对图形的周边曲线进行测量，当尺子减小到一定时，其面积基本稳定在一个固定值，因此可定义为：
其中，D为图形的边界分形维数，当尺子足够小的时候可以转换为：
其中，c为比例系数，此种测量方法经常被用于测量物体结构面。基于此，武生智等[182]对砂粒粗糙度及其粒径分布进行了研究，并提出了砂粒表面粗糙度分形维数测度的计算公式：
其中，a0为形状因子，S为曲线的欧氏面积，L为曲线的欧氏长度，ε为标度。
2）根据分布函数求分形维数
定义r为测度物体的径长，Nr是所有观察尺度为r的物体的总数，把直径大于r的物体出现的概率定义为P（r），其分布的密度概率为P（s），则有：
当测度变化而其分布不变时，则必须满足：
因此可得：
换个方式来说[183]，对于直径大于r的，则物体的分形维数D与r的关系可以表示为：(www.xing528.com)
3）根据波谱密度求分维
此方法又被称为PSD（Particle Size Distribution）法，在对随空间或时间变化的变量进行观测时，可以得到空间序列或者时间序列的变化频谱[184-187]。对于频谱来说，改变观察尺度相当于改变其截止频率fc。如果此具有分形特征，即使截止频率改变了，其频谱图形是不会变的。具有此种性质的频谱或波谱只能用如下分布来定义：
而β与分形维数D满足：β＝5－2D。而如果是在曲面的情况下，即二维时：β＝57－2D。Tyler和Wheatcraft对土壤颗粒进行了PSD分析[186-187]，得到N（r＞R）∝R－D，其中，N（r＞R）为颗粒尺寸大于或等于R的颗粒数目，D为频谱分形维数。
4）改变标尺法求维数
此方法主要通过用基本规则分割具有分形性质的图形，扩展到二维或三维，就是把平面或者空间分割成尺寸r足够小的基本图形，然后计算需要测度的图形所包含的基本图形个数N（r），由于N（r）∝r-D的关系，此方法经常被用于分形维数的计算，特别是随着计算机的发展，此方法更易通过计算机来实现大量数据的精确快速计算。冯夏庭等[188]通过使用不同的尺子长度r去测量岩石的节理长度，并获得了岩石节理粗糙系数[189]（Joint Roughness Coefficients）与节理分形维数的关系：
式中，JRC为岩石节理粗糙系数，N为节理长度，D为分形维数。
温世游等[190]基于损伤力学与分形理论，推导了岩体损伤的本构模型，并定义了损伤变量：
式中，m为裂隙的分形维数，S为裂隙的面积，a为单位裂隙面积。
随着计算机的发展，GIS作为一门学科，其具有强大的空间数据处理功能，即能对宏观的数据进行处理，也可以对微观的数据进行处理，能够实现在不同的规模上进行数据图形的空间处理。王宝军、施斌等[192]通过图像处理技术与GIS对黏性土的形态特征基于测度关系进行了三维的分形分析。
标尺法不仅适用于点分布和曲线分布，还可以用来对采动裂隙发育，特别是当覆岩发生垮落断裂时，形成的具有大量分叉的信息，因此可以通过此方法来计算获得其计盒维数。计盒维数的计算可以通过标尺法来实现，作为目前应用比较广泛的分形维数表示方法，其计算可以有效地与计算机结合起来。因此可以与GIS相关软件结合起来进行分形维数的快速计算，GIS可以将图形处理成为栅格数据，栅格数据不但具有空间位置信息，还具有空间属性特征。应用GIS计算来实现分形维数的计算，以下举例说明。如图4-2所示，将图形转换为不同栅格单元大小的栅格图层，然后绘制栅格单元大小与栅格数目的双对数图，如图4-3所示，图中纵横坐标分别为N（r）和1/r的原始数据，并对其取对数，用此图也可表示分形维数的计算流程，图中直线的斜率即为此图形的分形维数，D＝1.51。
图4-2 不同栅格大小的栅格图层
表4-1 划分的网格数目
图4-3 分形维数计算过程图
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