分形（Fractal）来源于拉丁文fractus，早在1875年就产生了分形理论，后来该理论经历了迅速的发展。其中从1926年到1975年的半个世纪里，可被称为分形理论迅速发展的第二个阶段，在这个阶段中Bouligand于1928年引入了Bouligand维数，Kolmogorov等学者于1959年引入了熵维数。第三个阶段是从1975年至现今，特别是在1979年由Mandelbrot提出用来表示图形的复杂程度及自然界的复杂过程，对分形理论有里程碑式的意义，并且Mandelbrot在1982年给出了分形的定义[165-166]：
定义4-1：定义一个集合F⊂Rn的Hausdorff维数是D，当DF＞DT的时候，其中DT＝n表示拓扑维数，我们可以定义F为分形集合，其数学公式可记为：
我们可以通过计算一个集合的Hausdorff维数及其拓扑维数来表征分形，根据式（4-1）即可判断该集合是不是分形集合，但是在实际应用中，Hausdorff维数是很难被计算的，这样就很难被广泛推广应用。直到1986年，Mandelbrot提出了一个更加实用的分形定义，称之为自相似分形[167-170]。
定义4-2：组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。
这一定义体现了大多数奇异集合的特征，很通俗也很直观，核心内容是突出了分形的自相似性，还反映了自然界中很广泛的一类物质的基本属性。但是此定义仅仅强调了分形的自相似特征，只能用于自相似分形，应用比较狭隘。因为有些不具有自相似性但是也满足DF＞DT的结构存在。(www.xing528.com)
后来英国数学家Falconer对分形提出了一个新的认识，即把分形看成具有某些性质的集合，根据分形的定义，可以得到分形空间的定义。
定义4-3：假设一个集合A，其中用dim A来表示其Hausdorff维数，为了测量d，定义集合 X，d{ }、H（X）和d A，B（ ），其中H（X）表示X的子集空间，A⊂X和B⊂X的距离可以用d（A，B）表示：
H（X）如果具有Hausdorff测度：
是完备测度空间，称之为分形空间。
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