研究结果：岩体裂隙时空演化与突水危险性决策模型

Kolmogorov熵进一步把信息熵精确化，用来描述动力系统随时间演化的变化率，可以定量描述处于混沌状态的采动裂隙岩体的混乱程度以及其系统内部的能量变化。Kolmogorov熵的值越小，表示采动过程中，裂隙覆岩转化为其他方式的能量越多，系统的能量耗散越多，而裂隙覆岩系统越趋于有序化，系统更加稳定，结构性增强。Kolmogorov熵越大，表示该处能量耗散得越少，系统越混乱，系统不稳定，在采动过程中消耗的能量较少。对采动裂隙岩体应力场时空演化及其力学机制的研究，需要对采动过程中岩体变形破坏历时性进行研究。Kolmogorov熵是非线性动力学系统的主要特征量，系统的动力学特性可以通过Kolmogorov熵来定量地表示，特别是对于非线性系统来说，当对其进行相空间重构时，处于不同轨道间的平均指数率，当其收敛或者发散时，其状态可以用Kolmogorov熵来表示[150]。Kolmogorov熵进一步可以描述非线性系统的复杂程度。

定义一个d维系统，将它的相空间切割成许多个边长为N（d）的d维立方体盒子，对于某个在吸引域中的轨道a（t），当时间间隔为τ时，对于状态空间的吸引子，令P（j0，j1，…，jd）表示系统的初始状态，系统的轨迹经过第j0盒子。同样的在其他时刻，比如τ时刻，系统经过第j1盒子，则可定义：

从时刻d到d＋1的信息损失可以用Kd＋1－Kd来表示，进而系统中的信息损失率可以用Kolmogorov熵表示：

当N（d）趋近于0时，Kolmogorov熵与格子的划分和选取是无关的。

为了对系统运动的无序程度进行定量化研究，基于Kolmogorov熵，首先考虑系统维数为1的时候。时间为0时，即开始的时候系统的轨道在第J0小盒子中。可得：

假定在时间τ时，系统能够延伸到r个盒子中，并且具有相同的概率，这是由于系统的运动性质不同，将会导致不同时刻系统轨迹出现在不同数目的盒子中。因此可得：

同样地，我们可以得到：(www.xing528.com)

通过推导可获得：

最终可得：

当r＝1时，系统是规则运动的系统，此时K为0，而对于随机系统，r趋于无穷大，从而K也趋于无穷大。由此可知，对于多维系统，Kolmogorov熵大于0而小于无穷大，表明系统处于混沌状态。Kolmogorov熵越大，表明系统的信息量损失速率越大。对于多维系统，直接计算Kolmogorov熵比较复杂，也不易计算。在1983年，二次Rényi熵，一种通过计算K2熵来计算Kolmogorov熵的方法被Grassberger与Procaccia提出[151-152]。K2可以通过关联积分进行计算：

对其重构为d和d＋m维的情况下：

对嵌入维数取不同的值，在一直递增的情况下，对式（3-13）进行斜率的线性回归，进而可获得Kolmogorov熵。本书通过试验监测采动岩体过程中，典型点的应力变化率，首先建立应力变量的时间序列模型，并计算其最佳嵌入时间和最佳嵌入维数，进而可以还原系统即重构系统。最后，在计算覆岩采动过程中，监测点的Kolmogorov熵值，进而对采动过程中岩体系统各个点的能量演化进行分析，揭示采动裂隙岩体的非线性动力学特征。目前常用便捷的是采用G-P算法来计算Kolmogorov熵，公式如下：

其中，τ为系统的最佳延迟时间。Cm（N（d））与Cm＋1（N（d））分别表示嵌入维数为m和m＋1时候的值。