建筑工程制图：圆锥体的截交线制作

当平面与圆锥相交时,由于平面对圆锥的相对位置不同,其截交线可以是圆、椭圆、抛物线或双曲线,这4种曲线总称为圆锥曲线;当截切平面通过圆锥顶点时,其截交线为过锥顶的两直线;见表5-2。【例5-6】　如图5-14(a)所示,圆锥被一侧平面截切,求作截交线的三视图。

表5-2　平面与圆锥的交线

作图分析:

截平面为侧平面,与圆锥的轴线平行,确定截交线形状为双曲线。其水平投影和正面投影分别积聚为一直线,侧面投影反映实形。

作图步骤:

(1)求特殊点:如图5-14(b)所示,最高点A 是圆锥最左素线上的点,最低点B、C 为圆锥底面棱线圆上的点,根据点的从属性求出A、B、C 三点的三面投影。

图5-14　圆锥上双曲线截交线的作图过程

(2)求一般点:如图5-14(c)所示,在水平投影中作一辅助圆,与截交线的积聚投影相交于e、d 两点,E、D 两点为截交线上的点。然后作出辅助圆线的正面投影,再根据点线的从属性和投影规律求出E、D 两点的正面投影e′d′和侧面投影e″d″。

(3)如图5-14(d)所示,依次光滑连接a″、b″、c″、d″、e″各点,即得截交线的侧面投影。

【例5-7】　如图5-15所示,已知圆锥被斜截后的正面投影,试作出其截交线,完成三面投影图。

图5-15　圆锥上椭圆截交线的作图过程

作图分析:

圆锥被斜截,截交线是椭圆,正面投影积聚成直线,其余两面投影均是椭圆,椭圆长轴、短轴的端点是必须找到的特殊点,另外再找出素线上的点,光滑连接各点。(https://www.xing528.com)

作图步骤:

(1)在正面投影中,截平面与圆锥面最左素线的交点1′、2′两点是椭圆一个轴的两端点,可在相应的素线上直接找出1′、2′两点的其余两面投影,如图5-15(b)所示。

(2)在正面投影中,截平面积聚成直线,直线的中点3′、4′两点是椭圆另一个轴的两端点,利用辅助素线法或辅助圆线法,找出3′、4′两点的其余两面投影,如图5-15(c)所示。

(3)在正面投影中,截平面与圆锥面上最前、最后素线的交点5′、6′两点,也是侧面投影中椭圆与最前最后素线的相切点,可在相应的素线上直接找出5′、6′两点的其余两面投影,如图5-15(d)所示。

(4)将各点的同名投影光滑连接成椭圆,如图5-15(e)所示。

(5)整理图形,如图5-15(f)所示。

【例5-8】　如图5-16(a)所示,已知圆锥切口的正面投影,求其他两个投影。

分析作图:

切口可以看作是由一个水平面和两个侧平面截切圆锥而成。水平面截切圆锥截交线为圆,本例为不完全切割,所以截交线是两段圆弧。两个侧平面截切圆锥截交线为双曲线,在侧面投影上反映实形。

作图步骤:

(1)画切口底平面形成的截交线,如图5-16(b)所示,在正面投影上,将底平面的直线延长,与圆锥的最左、最右素线相交于1、2两点,在水平投影上以1、2线段长为直径,锥尖为圆心画圆,中间对应部分即为截交线圆的水平投影。截交线圆的侧面投影为水平直线(其中被圆锥表面遮住的一段因不可见,应画成虚线,可在最后再修改图形)。

图5-16　圆锥切口截交线的作图过程

(2)作切口两侧面形成的截交线。切口两侧面的正面投影和水平投影都重影成一条直线,首先在该直线投影上找特殊点,如图5-16(c)所示,在正面投影上确定截交线上的最高点1′,最低点2′、3′。已知点1在最左素线上,可利用点线的从属性,在最左素线的相应投影上,求得1,1′′。最低点2、3在底圆上,已知2′、3′就可作出其水平投影2、3和侧面投影2′′、3′′。然后在最高点和最低点之间再找两个一般点4、5,用辅助素线法(或辅助圆线法)求出5、6两点的三面投影。

(3)依次连接各点完成双曲线的投影,最后整理修改图形,如图5-16(d)所示。