换面法是指空间几何元素保持不动,用新的投影面替换原有的某个投影面,使新投影面与空间几何元素处于有利于解题的位置。如图3-20(a)所示,处于铅垂位置的三角形在V、H 两投影面中不反映实形,现作一个与H 面垂直的新投影面V1,并平行于三角形确定的平面,将三角形向V1 面投影,则在该面上得到反映该平面实形的投影。
图3-20 投影变换的基本方法
换面法中,选择的新投影面必须处于有利于解题的位置,并且必须垂直于原投影面体系中的一个投影面,组成一个新的两投影面体系。
(一)换面法的基本规律
点是最基本的几何元素,因此必须首先掌握点的投影变换规律。
1.变换H 面
如图3-21(a)所示,以新的投影面H1 替换基本投影面H,保留投影面V,H1 与V 面的交线为X1 轴,空间点A 在H1 面上的投影用a1 表示,将投影面展开得到新的投影体系,见图3-21(b)。根据点的投影特性,则有:
图3-21 点的投影变换——变换H 面
1)点的新投影a1 与不变投影a′的连线垂直于新的投影轴X1;
2)点A 到V 面的距离在新、旧投影体系中是相同的,即a1ax1=aax=Aa′。
变换H 面时点的投影图的作图步骤如下:
1)在图上适当的位置画出新轴X1,以H1 面替换H 面。
2)由不变投影a′作直线垂直于X1 轴。
3)在X1 轴另一侧取a1ax1=aax,a1 即为H1 面上的新投影。
2.变换V 面
如图3-22(a)所示,以新的投影面V1 替换基本投影面V,保留投影面H,V1 与H 面的交线为X1 轴,空间点B 在V1 面上的投影用b′1 表示,将投影面展开得到新的投影体系,如图3-22(b)所示。其投影图同样有如下特性:
图3-22 点的投影变换——变换V 面
1)点的新投影b′1 与不变投影b的连线垂直于新的投影轴X1;
2)点B 到H 面的距离在新、旧投影体系中是相同的,即b′1bx1=b′bx=Bb。
3.点的二次或多次换面
点的二次换面是在一次换面的基础上再作一次换面,如图3-23所示。同样也可作多次换面,但要遵守两条规则:
图3-23 点的二次换面
1)为了保证投影特性不变,新增投影面必须与保留投影面垂直;
2)每次只能替换一个投影面,但可以交替更换。
两次或多次换面的作图方法与一次换面完全相同,只要注意前后三个投影面的投影规律即可。
基于两点决定一直线,不在一直线上的三点决定一平面的道理,直线与平面换面问题的实质都可归结为点的换面的具体运用与发展。
(二)四个基本作图问题(www.xing528.com)
应用换面法解决产品设计图解问题时,无论是度量还是定位问题,可能遇到各种各样的情况,但从其作图过程来看,可归结为下列四个基本作图问题。
1.将一般位置直线变换为投影面平行线
如图3-24(a)所示,AB 为一般位置直线,其H 和V 面投影均不反映实长。为此可设一个新投影面V1 平行于AB,用以替换V 面,则AB 在新的投影体系中成为一正平线。
图3-24(b)表示将AB 变换为正平线的投影图作法。首先画出新投影轴X1,X1 必须平行于ab,与ab距离不限;然后按照点的投影变换规律作出AB 两端点的新投影a′1、b′1;连接a′1b′1 即为AB 的新投影,同时反映AB 的实长和与水平面的倾角α。
图3-24 将一般位置直线变换为投影面平行线
图3-24(c)为变换H 面后求实长的投影变换作法。
2.将一般位置直线变换为投影面垂直线
只有当直线为投影面平行线时,一次换面才能变换为投影面垂直线。将一般位置直线变换为投影面垂直线就要进行两次换面,即先将一般位置直线变换为投影面平行线,然后才能将投影面平行线变换为投影面垂直线。
具体作图如图3-25所示,先将一般位置直线变换为投影面平行线,再将投影面平行线变换为投影面垂直线。
图3-25 一般位置直线变换为投影面垂直线
【例3-8】 如图3-26(a)所示,用换面法求作交叉两直线AB 和CD 之间的公垂线KL。
图3-26 求交叉两直线的公垂线
解:由[例3-5]可知,交叉两直线中,若有一条为投影面垂直线,可以直接利用直角投影定理作出公垂线。因此,本题中只需将CD 变换为投影面垂直线,即可在H2 投影面中求出公垂线的投影k2l2;最后再由k2l2 进行返回变换,即可得到两交叉直线之间的公垂线KL。
3.将一般位置平面变换为投影面垂直面
将一般位置平面变换为投影面垂直面时,新投影面既要垂直于一般位置平面,又要垂直于基本投影面。为了满足此条件,只需把一般位置平面内一条投影面平行线变成投影面垂直线即可。根据直线的投影变换可知,这种换面只需一次。
图3-27表示一般位置平面变换为投影面垂直面的作图过程。实际上是将属于△ABC的一条正平线AD 变换为投影面垂直线,在此过程中点B 和C 同时变换投影面,得到了△ABC 具有积聚性的投影。如图3-27(b)所示,当变换V 面时,积聚性投影a′1b′1c′1与X1 轴的夹角为△ABC 平面对H 面的倾角α;见图3-27(c),当变换H 面时,积聚性投影a1b1c1 与X1 轴的夹角为△ABC 平面对V 面的倾角β。
图3-27 将一般位置平面变换为投影面垂直面
【例3-9】 如图3-28(a)所示,用换面法求点M 到平面△ABC 的距离及垂足N。
图3-28 求点到平面的距离
解:如果将平面变换为投影面垂直面,点到平面的垂线则为该投影面平行线,并在该投影面中反映点到平面距离的实长。所以,在作图时需先将平面△ABC 变换为投影面垂直面,点M 随之变换为点m′1;然后过点m′1 向平面的积聚性投影作垂线,垂足为n′1,m′1n′1 即为点到平面的距离。将m′1n′1 进行返回变换,即得垂足点N 的投影。
4.将一般位置平面变换为投影面平行面
如需将一般位置平面变换为投影面平行面,必须变换两次投影面才行。首先将一般位置平面变换为投影面垂直面,然后再将投影面垂直面变换为投影面平行面。
图3-29 表示一般位置平面变换为投影面平行面的作图过程。先变换H 面,将△ABC 变换为投影面垂直面,得到了△ABC 具有积聚性的投影;再变换V 面,取X2 轴平行于△ABC 具有积聚性的投影,求出点A、B、C 的新投影a′2、b′2、c′2,则△a′2b′2c′2 反映△ABC 的实形。
图3-29 将一般位置平面变换为投影面平行面
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