汽车振动基础：平稳与非平稳随机过程

如果一个随机过程的统计性质、趋势与时间有关,随着时间的变化而变化,这个过程就称为非平稳过程。与非平稳过程相对应的就是平稳过程,其定义如下:

对任意n个不同时刻t1,t2,…,tn和任一实数ε,如果随机过程X(t)的n维概率密度函数p(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)满足

则称X(t)是平稳随机过程,简称平稳过程。

也就是说,若将平稳过程X(t)的时域图像在时间轴上任意平移ε得到一个新的随机过程Y(t),则X(t)和Y(t)有完全一样的统计特性。

式(5-19)给出的平稳随机过程的定义是严格的,在实际工程中难以用其检验随机过程的平稳性。由于工程实际中一般只能得到一维和二维概率密度函数或概率分布函数,更高维的概率密度函数和概率分布函数很难得到,因此在工程实践中往往将平稳过程的定义放宽。

由于平稳过程的一维概率密度函数和概率分布函数均与所选取的时刻无关,因此一般将其记为p(x)和P(x)。对于二维概率密度函数,由于

令ε=-t1,τ=t2-t1,代入式(5-20),则有

式(5-21)表明,平稳过程X(t)任意相差τ的两个时刻t1、t2=t1+τ的随机变量X(t1)和X(t1+τ)之间的二维概率密度函数与0时刻和τ时刻的随机变量X(0)和X(τ)之间的二维概率密度函数相同。因此,平稳过程的二维概率密度函数只与所取的两个时刻t1、t2的时差τ=t2-t1有关,可以表示为

式(5-22)中的t为任意时刻。同样,二维概率分布函数也只与所取的两个时刻t1、t2的时差τ=t2-t1有关,即(www.xing528.com)

平稳随机过程的数字特征的性质如下。

(1)数学期望(均值)是与时间t无关的常数,即

(2)方差是与时间t无关的常数,即

(3)相关函数仅仅是单变量时差τ的函数,即

式(5-24)～式(5-26)表明,平稳随机过程的任一状态的均值、均方值都相等。两个状态之间的相关函数仅仅是两个状态之间的时差τ的函数。

一般把满足式(5-24)～式(5-26)的随机过程也称为平稳随机过程,为了与平稳过程的严格定义相区别,该平稳过程又称为“宽平稳”随机过程,而满足平稳过程严格定义的随机过程称之为“严平稳”随机过程。若无特殊说明,本书中提到的平稳过程均指“宽平稳”随机过程。

如果随机过程X(t)、Y(t)均是平稳随机过程,则X(t)、Y(t)的互相关函数也只是单变量时差τ的函数,即

若X(t)是平稳随机过程,则符号X(t)既可表示随机过程本身,又可以表示平稳随机过程在时刻t时的状态。