汽车振动基础：傅里叶变换与拉普拉斯变换

1.傅里叶变换

大多数的振动问题采用的时域描述方法,即研究振动系统的动态响应随时间的变化规律。而对于一个振动问题,也可以利用傅里叶变换将振动信号由时域信号转化为频域频谱进行分析,从而研究响应频谱与系统特性的频域描述之间的关系。

设振动系统的运动微分方程为

如果激励f(t)的傅里叶变换存在,即有

对振动系统运动微分方程的两边做傅里叶变换,根据傅里叶变换的性质可以得到

故系统响应的傅里叶变换可以表示为

式中:

称为系统的频率响应函数,简称频响函数。

频响函数是系统振动特性的频域描述,其反映的是系统本身的频域特性。对于本章研究的单自由度振动系统,激励是作用在质量上的力,因此只要已知系统的刚度、质量和阻尼,可以根据上式求出系统的频响函数。反之,若已知系统的频响函数H(ω),则由

可以方便地求出系统的刚度和质量。由于

故

在振动试验中往往只能得到频响函数在一系列频率点上的值,这时,可以采用曲线拟合的方法对频响函数的数据进行曲线拟合,从而得到系统的刚度、质量和阻尼。

响应的频谱描述了响应在频域的分布。在频域中,激励与响应的关系非常简单,可以通过试验测出系统所受到的激励f(t)和系统对激励的响应x(t),在系统零初始条件下由其傅里叶变换F(ω)和X(ω)可以得到系统的频响函数

做响应频谱的傅里叶逆变换,则有(www.xing528.com)

可见,利用傅里叶变换在频域求解免去了在时域求解微分方程的困难,但要得到系统在时域的响应要用到傅里叶逆变换。

由上面的分析可知,频响函数H(ω)完全由系统的性质决定,如果得出了振动系统的频响函数,则只要给出了激励的傅里叶变换,就能够得出系统的时域响应信号。

2.拉普拉斯变换

拉普拉斯变换也是常用的求解微分方程的方法,它可以方便地求系统在任意载荷下的响应,而且可以考虑初始条件。假设单自由度系统的运动微分方程为

对方程两边分别进行拉普拉斯变换,则有

振动响应的拉普拉斯变换为

对X(s)进行拉普拉斯逆变换即可得到振动系统响应的时域信号。

同傅里叶变换一样,拉普拉斯变换将微分方程变为代数方程,但它优于傅里叶变换的地方在于其自动计入了初始条件,故能得到微分方程的全解。工程实践中常见的各种激励一般都可以通过查表求出其拉普拉斯变换,而响应的拉普拉斯逆变换大多也可通过查表得到。

3.脉冲响应、频率响应函数和传递函数之间的关系

系统的频率响应函数、传递函数和脉冲响应各自反映了系统的振动特性,函数之间又存在着密切的联系,可以利用其中的两个已知量便捷地求出另外一个量。

单位脉冲力δ(t)的傅里叶变换和拉普拉斯变换均为1,故对于方程

两边分别做傅里叶变换和拉普拉斯变换可得

在单位脉冲力δ(t)的激励下系统的响应为脉冲响应函数h(t),由上面的分析可知,系统的脉冲响应函数h(t)与系统的频率响应函数H(ω)是一对傅里叶变换对,与系统的传递函数H(s)是一对拉普拉斯变换对,即