汽车振动基础：线性叠加原理

叠加原理是分析线性振动系统振动性质的基础。由高等数学的知识可知,如果微分方程的左端取不同的函数,在初始条件不变的情况下,方程的解也随之发生变化。对于线性常微分方程,若

则有

设a、b是与t、x和y无关的常数,若x1、x2满足式(2-3),则

可见,对于线性常微分方程,方程左端函数的线性组合对应的方程解是各个函数对应解的线性组合。实际上,该性质对于所有的线性微分方程都成立,称为微分方程的线性叠加原理。线性叠加原理也用于判断一个微分方程是不是线性微分方程。

任一线性振动系统均可以用一个线性的运动微分方程或运动微分方程组来描述,即可以统一的表示为

此处,R称为微分算子。按照振动理论的习惯,此处的x一般表示振动系统的响应,而F(t)则表示外部施加于系统的激励。因此,一个微分算子可对应于一个振动系统,且微分算子的性质完全由系统的物理性质决定,与外部激励无关。

对于任一微分算子R,如果有任意两个激励F1(t)、F2(t),其对应的两个响应分别为x1(t)、x2(t),即(www.xing528.com)

如果对激励

有对应的响应x(t),并满足

且

即

则称R为线性微分算子,R所对应的微分方程为线性微分方程,R所代表的系统为线性系统。式(2-6)即为线性叠加原理。

由上面的分析可知,若某一振动系统为线性振动系统,其运动微分方程为线性微分方程,其微分算子则为线性微分算子,叠加原理在该振动系统中成立。