混凝土结构与砌体结构第4版-钢筋混凝土双向板肋梁楼盖

对于四边支承的板，当其两个方向的边长比时，作用于板上的荷载将沿两个方向传给支承结构，板在两个方向均产生较大的弯矩，这种板称为双向板。《规范》规定，当2＜时，也宜按双向板计算。当两个方向的边长越接近相等时，板在两个方向的受力也越接近相等。

与钢筋混凝土单向板肋梁楼盖一样，对于双向板肋梁楼盖，板的内力和配筋可按弹性理论计算，也可按塑性理论计算。

图13-31 例题13-1中主梁的抵抗弯矩图和钢筋布置图

1）双向板肋梁楼盖的弹性理论计算法

（1）单跨双向板的弹性理论计算法

双向板的受力特性与单向板有明显的不同。图13-32 所示为四边均有支承（简支）的双向板。当双向板承受荷载后，板在四周不能产生向下的位移（如果向上的位移没有受到约束，板的四角将向上翘起），但越往板的中心，板的挠度越大。整个板在两个方向都产生弯曲，因而两个方向都有弯矩。

图13-32 双向板的受力特征

从图13-32还可以看出，在短跨方向，Ⅰ-Ⅰ截面的弯曲程度比Ⅱ-Ⅱ截面的弯曲程度大，在长跨方向，与Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ截面上距支座相同距离处（例如，在Ⅲ-Ⅲ截面处）的挠曲线的斜率也不同。由此可见，这两个截面所在的板带之间有扭转角产生。相应地，也就有扭矩存在。考虑扭矩存在的双向板计算要涉及材料的双向应力和变形等许多问题，比较复杂。在实际工程设计中，常采用现成的计算表格或按一些实用的简化方法进行计算。

目前，对于常用荷载分布及支承情况的板的内力和位移已编制成了计算表格。设计时可根据表中系数简便地求出板中两个方向的弯矩以及板的中点挠度和最大挠度。附表23给出了六种边界条件下，单跨双向板在均布荷载作用下的挠度系数、支座弯矩系数，供设计时查阅。

（2）多跨连续双向板的弹性理论计算法

多跨连续双向板的内力计算比单跨板还要复杂。在设计中，通常采用一种近似的，以单跨双向板弯矩计算为基础的实用计算法，其计算精度完全可以满足工程设计的要求。

①跨中弯矩

图13-33 双向板跨中弯矩的最不利活荷载布置

与多跨连续单向板内力分析相似，多跨连续双向板也存在活荷载不利布置的问题。当计算某区格板的跨中最大弯矩时，应在该区格布置活荷载，在其他区格按图13-33a 所示棋盘式布置活荷载。图13-33b为剖面A-A中第2、第4区格板跨中弯矩的最不利活荷载布置。为了能利用单跨双向板的弯矩系数表格，图13-33b的荷载分布可分解为图13-33c中的对称荷载情况（即各区格均作用有向下的均布荷载p′=g+q／2）和图13-33d中的反对称荷载情况（即第2、4 跨作用有向下的荷载p″=q／2，第1、3、5 跨作用有向上的荷载p″=q／2）。此处，g、q分别为作用于板上的恒荷载、活荷载。

在对称荷载p′的作用下，由于区格板均作用有荷载p′，板在中间支座处的转角很小，可近似地假定板在所有中间支座处均为固定支承。因此，中间区格板可视为四边固定；若边支座为简支，则边区格板可视为三边固定，一边简支；角区格可视为二邻边固定，二邻边简支。

在反对称荷载p″的作用下，板在中间支座处的弯矩很小，基本上等于零，可近似地假定板在中间支座为简支。因此，每一个区格均可视为四边简支。

最后，将上述两种荷载作用下求得的弯矩叠加，即为棋盘式活荷载不利布置下板的跨中最大弯矩。

②支座弯矩

计算多跨双向板的支座最大弯矩时，其活荷载的最不利布置与单向板相似，即应在该支座两侧跨内布置活荷载，然后再隔跨布置活荷载。对于双向板来说，计算将十分复杂。考虑到隔跨荷载的影响很小，为简化计算，可近似认为，当楼盖所有区格上都满布活荷载时得出的支座弯矩为最大。这样就可把板区格的中间支座视为固定，板的边支座按实际情况考虑（一般为简支）。则支座弯矩可直接由附表23查得的弯矩系数进行计算。必须指出，当相邻两区格板的支承条件不同或跨度不等，但相差小于20%时，其公共支座处的弯矩可偏安全地取相邻两区格板得出的支座弯矩的较大值。

2）双向板肋梁楼盖的塑性理论计算法

（1）双向板的破坏特征

对于均布荷载作用下的四边简支单区格正方形板，第一批裂缝出现在板底中央部分，随着荷载增加，裂缝沿对角线方向向四角延伸。荷载不断增加，裂缝继续向四角发展，直至板底钢筋屈服，形成塑性铰线。在临近破坏时，板顶面的四周附近将出现垂直于对角线方向、且大体呈环状的裂缝。

对于均布荷载作用下的四边简支矩形板，第一批裂缝出现在板底中部，裂缝方向平行于长边。随着荷载增加，裂缝不断开展，并沿与板边大体呈45°的方向向四角延伸，直至板底钢筋屈服，形成塑性铰线。临近破坏时，板顶面也出现大体呈环状的裂缝。板底、板顶裂缝形状如图13-34a、b所示。

对于均布荷载作用下的四边固定矩形板，第一批裂缝出现在板顶面沿长边的支座处，第二批裂缝出现在板顶面沿短边支座处及板底短跨跨中，裂缝方向平行于长边。随着荷载增加，板顶裂缝沿支座边向四周延伸，板底裂缝沿与板边大约是45°的方向向四角延伸。最后，当板形成机构，达到极限承载力时，板顶面塑性铰如图13-34c所示。

此外，在荷载作用下，简支的单区格正方形板或矩形板，其四角均有翘起的趋势。

（2）按塑性铰线法计算双向板的极限荷载

按塑性理论计算双向板的方法很多。目前在工程设计中较常采用的方法有塑性铰线法、板带法等。本节介绍塑性铰线法。

①基本假设

由图13-34可见，板的屈服区是在板的受拉面形成，且分布在一条窄带上，如将屈服带宽度上板的角变位看成是集中在屈服带中心线上，形成假想的屈服线，则称其为塑性铰线。

图13-34 均布荷载作用下双向板的裂缝

塑性铰线和塑性铰的概念是相似的，塑性铰发生在杆件结构中，塑性铰线发生在板式结构中。裂缝出现在板顶的塑性铰线称为负塑性铰线，裂缝出现在板底的塑性铰线称为正塑性铰线。双向板的极限荷载可采用塑性铰线法进行计算。

塑性铰线法的基本假定为：

A.板即将破坏时，塑性铰线发生在弯矩最大处，塑性铰线将板分成若干个以铰线相连接的板块，使板成为可变体系。

B.塑性铰线是由钢筋屈服而产生的，沿塑性铰线上的弯矩为常数，它等于相应配筋板的极限弯矩值，但转角可继续增大，塑性铰线上的扭矩和剪力很小，可认为等于零。

C.塑性铰线之间的板块处于弹性阶段，变形很小，可忽略不计。因此，在均布荷载作用下，各板块可视为平面刚体，变形集中于塑性铰线处，两相邻板块之间的塑性铰线为直线。

D.板的破坏机构的形式可能不止一个，在所有可能的破坏机构形式中，必有一个是最危险的，其极限荷载为最小。

②均布荷载作用下的四边固定板的极限荷载

按照塑性铰线法计算双向板的极限荷载的关键是找出最危险的塑性铰线位置。塑性铰线的位置不仅与板的形状、边界条件和荷载形式有关，而且与配筋形式（纵、横方向跨中和支座的配筋情况）和数量有关。

一般情况下，塑性铰线和转动轴有如下一些规律：负塑性铰线位于固定边；固定边和简支边为转动轴线；转动轴线通过支承板的柱；两板块之间的塑性铰线必通过两板块转动轴的交点。图13-35为板的塑性铰线的一些例子。

图13-35 板的塑性铰线

对于均布荷载作用下的四边固定（或连续）矩形双向板，其破坏机构基本形式是倒锥形。如图13-36 所示。为了简化计算，对于倒锥形破坏机构可近似地假定：正塑性铰线为跨中平行于长边的塑性铰线和斜向塑性铰线，斜向塑性铰线与板的夹角为45°；负塑性铰线位于固定边。

确定了塑性铰线的位置后，即可利用虚功原理求得双向板的极限荷载。

图13-37 所示为四边固定（或连续）矩形双向板，短跨跨度为lx，长跨跨度为ly。设板内两个方向的跨中配筋为等间距布置，并伸入支座。其短跨方向跨中单位长度上截面的极限弯矩为mx，长跨方向跨中单位长度上截面的极限弯矩my=αmx。同时，设支座上承受负弯矩的钢筋也是均匀布置，其沿支座AB、BC、CD、DA 的单位长度上截面的极限弯矩分别为和。

图13-36 四边固定矩形双向板的塑性铰线

这时，在45°斜塑性铰线上单位长度的极限弯矩为。

当跨中塑性铰线EF 上发生一虚位移δ=1时，则各板块间的相对转角如图13-37所示。

图13-37 矩形双向板的虚位移

内功Wi 可根据各塑性铰线上的极限弯矩在相对转角上所做的功求得，即

即

式中 Mx、My——分别为沿lx、ly 方向跨中塑性铰线上的总极限弯矩，Mx=mxly，My=mylx；

——分别为沿lx 方向两对支座铰线上的总极限弯矩，；

——分别为沿ly 方向两对支座铰线上的总极限弯矩，。

荷载p 所作的外功Wp 为荷载p 与ABCDEF 锥体体积的乘积，即

即(www.xing528.com)

令内功与外功之和为零，即式（13-16）和（13-17）之和等于零，则可得计算四边固定（或连续）双向板的基本公式为

对于四边简支矩形双向板，其支座弯矩为零，故在公式（13-18）中均为零。于是可得

简支双向板受荷后，其角部有翘起的趋势，以致在角部板底形成Y 形塑性铰线，如图13-38a所示，使板的极限荷载有所降低。如支座为可承受拉力的铰支座，则将限制板的翘起，这时，角部的板顶面将出现与支座边成45°的斜向裂缝，如图13-38b所示。为了控制这种裂缝的开展，并补偿由于板底Y 形塑性铰线引起的极限荷载的降低，可在简支矩形双向板的角区配置一定数量的板顶构造钢筋。因此，计算中可不考虑上述不利影响。

（3）双向板按塑性理论设计要点

设计双向板时，通常已知板的荷载设计值p 和计算跨度lx、ly（内跨为净跨、边跨视支座情况，按与单向板相同的方法取值），要求确定内力和配筋。在工程设计中一般有下面两种情况。

图13-38 简支双向板板角塑性铰线

①支座配筋均为未知时

当支座配筋均为未知时，也就是支座截面的极限弯矩均为未知时，由公式（13-18）可见，弯矩未知量有六个，即。这时，可按下述方法计算。

A.先设定两个方向跨中弯矩的比值以及各支座弯矩与相应跨中弯矩的比值。

两个方向跨中弯矩的比值α可按下述确定

式中 n——长边计算跨度ly 与短边计算lx 跨度的比值，即n=ly／lx。

支座与跨中弯矩的比值β 可取1.5～2.5，一般常取2.0。于是可得，此处分别为与相应跨中弯矩mx、my 的比值。

B.将上述各式代入公式（13-18），则可求得mx。

当跨中钢筋全部伸入支座，且取时，则可得

有时，为了合理利用钢筋，可将两个方向的跨中正弯矩钢筋在距支座lx／4（lx 为短跨跨度）处弯起。这时，若仍取，则可得

C.由设定的，依次求出。

然后，根据这些弯矩，计算跨中和支座的配筋。

②部分支座配筋已知时

当部分支座配筋为已知，也就是部分支座截面的极限弯矩已知，这时，仍可由公式（13-18），用类似的方法求解，但应将已知支座配筋的支座截面的极限弯矩作为已知量代入。

现以图13-39所示的双向板楼盖为例来说明设计步骤。在设计多跨连续双向板时，通常从最中间的区格板B1 开始计算，若已知作用于区格板B1 的荷载设计值p 和区格板B1 的计算跨度lx、ly，即可用上述方法计算出其。然后再计算出相邻区格板（例如B2 或B3）的配筋。在计算上述相邻区格板（B2 或B3）的配筋时，与区格板B1 相邻的支座配筋是已知量。用上述方法可求得该区格板的其余各截面的配筋。如此依次向外扩展，逐块计算，便可求出全部多跨连续双向板的配筋。

对于多跨连续双向板的边区格板，无论板最外侧边是支承在砖墙上，还是支承在边梁上（若边梁刚度不大，可忽略边梁的扭转约束作用），设计中通常近似取该边缘支承为简支，即该支座塑性铰线弯矩为零。

图13-39 连续双向板设计步骤示意图

3）双向板的设计要点

（1）截面计算

①弯矩设计值

对于四边与梁整体连接的双向板，由于周边梁的约束，对板产生很大的推力，可使板的弯矩减小。因此，不论按弹性理论还是按塑性理论计算方法得到的弯矩，均可按下述规定予以折减。

A.对于连续板的中间区格的跨中截面及中间支座，弯矩减少20%。

B.对于边区格的跨中截面及从楼板边缘算起的第二支座截面，当lb／l0＜1.5 时，弯矩减少20%；当1.5≤lb／l0≤2时，弯矩减少10%。此处，l0 为垂直于楼板边缘方向的计算跨度，lb 为沿楼板边缘方向的计算跨度，如图13-40所示。

C.对于角区格各截面，弯矩不应减少。

②截面的有效高度

由于双向板内钢筋是两个方向重叠布置的，因此，沿短跨方向（弯矩较大方向）的钢筋应放在沿长跨方向钢筋的外侧。在截面计算时，应根据具体情况，取各自截面的有效高度h0。

图13-40 双向板边区格跨度l0、lb 示意图

（2）构造要求

①板厚

双向板的厚度一般为80～160mm。任何情况下不得少于80mm。为了使双向板具有足够的刚度，对于单跨简支板，其板厚不宜小于l0／45，对于多跨连续板，其板厚不宜小于l0／50，此处，l0 为短跨的计算跨度。

②钢筋的配置

双向板的受力钢筋沿纵、横两个方向配置，其配筋形式与单向板相似，有弯起式和分离式。

当按弹性理论计算时，其单位长度上的板底钢筋数量是按最大跨中弯矩求得的。但跨中弯矩不仅沿弯矩作用平面的方向向支座逐渐减少，而且沿垂直于弯矩作用平面的方向向两边逐渐减少，因此，跨中钢筋数量亦可向两边逐渐减少。考虑到施工方便，可按下述方法配置：将板在l1 和l2 方向各分为三个板带，两个边板带的宽度各为短跨计算跨度的1／4，其余为中间板带，如图13-41 所示。在中间板带上，按跨中最大正弯矩求得的单位长度内的板底钢筋数量均匀配置；在边板带上，按中间板带内的单位长度上的钢筋数量的一半均匀配置。支座处的负弯矩钢筋不予减少，应按计算值沿支座均匀配置。

图13-41 双向板配筋的分区和配筋量

当按塑性理论分析内力时，应事先确定边缘板带是否减少一半配筋。如果边缘板带减少一半配筋，则在内力分析时，必须按边缘板带减少一半配筋后的极限弯矩值来计算塑性铰线上的总极限弯矩值。

板中受力钢筋的直径、间距及弯起点、切断点的位置等规定，与单向板相同，沿墙边、墙角处的构造钢筋，也与单向板相同。板中配筋的构造要求如图13-42所示，满足这些要求，则可保证板的所有截面的受弯承载力。

图13-42 多跨连续双向板的弯起式配筋构造

4）双向板支承梁的计算

支承梁的荷载，亦即双向板的支座反力，其分布比较复杂。设计时，可近似地将每一区格板从板的四角作45°线，将板分成四块，每块面积内的荷载传给其相邻的支承梁，这样，长跨支承梁（沿板的长跨方向）上的荷载为梯形分布，短跨（沿板的短跨方向）支承梁上的荷载为三角形分布，如图13-43所示。

对于承受三角形、梯形分布荷载作用的多跨连续梁，当按弹性理论计算其内力时，也可以将梁上的三角形或梯形荷载，折算成等效均布荷载，然后利用附表22 计算梁的支座弯矩。此时，仍应考虑梁各跨活荷载的最不利布置。等效荷载是按实际荷载产生的支座弯矩与均布荷载产生的支座弯矩相等的原则确定的。图13-44所示为梁上承受三角形、梯形荷载的等效均布荷载值。

图13-43 双向板支承梁的荷载面积

图13-44 连续支承梁的等效均布荷载

在按等效荷载qe 查表求得连续梁各支座弯矩之后，以此支座弯矩的连线为基线，叠加按三角形或梯形分布荷载求各跨的简支梁弯矩图，即为所求的支承梁的弯矩图。

当按塑性理论计算支承梁内力时，可在按弹性理论求得的支座弯矩的基础上进行调幅，计算方法同单向板肋梁楼盖梁。