小波分析将时间序列分解成若干不同频带的细节序列和背景序列｛W1，W2，…，WP，CP｝。细节序列描述的是高频成分，背景序列描述的是低频成分。它们在时间序列中的比重和作用机制完全不同，其未来的演变趋势亦不同，因此对原始序列未来值的贡献不同。
小波分析与ANN组合的常用主要方式是将小波函数取代ANN常用的Sigmoid激励函数，再训练网络并预报。该方法的不足之处在于小波函数的个数难以确定。文献［7］提出了小波分析与ANN 的一种新的耦合方式：首先将时间序列进行小波变换，再根据小波变换序列与原始序列的关系由ANN进行刻化，最后得原始序列的预测。
设小波分解序列为：
式中：P 为尺度数；n 为分解序列的长度；W1（t），W2（t），…，WP（t）为细节序列（高频）；CP（t）为背景序列（低频）（t ＝1，2，…，n）。
以t 时刻小波分解序列W1（t），W2（t），…，WP（t），CP（t）作为ANN的输入，t＋T 时刻原始序列作为网络输出（T 为预见期），构造ANN模型。ANN模型的结构和权重大小正好体现了时间序列组成成分的重要性和它们之间的映射关系。以上述方式建立的人工神经网络模型，称为小波网络组合模型，简计为WANN。其建模步骤如下：
（1）时间序列的小波分解。小波变换系数常常用快速变换算法计算，其中有著名的Mallat算法和ATrous算法。设水文时间序列｛Q（t）｝，令C0（t）＝Q（t），则ATrous快速小波算法如下：
式中：h（k）为离散低通滤波器；Ci（t）、Wi（t）（i ＝1，2，…，P，P 为尺度数）分别为在尺度i下的背景序列和细节序列。(www.xing528.com)
称｛W1，W2，…，WP，CP｝为在尺度P 下的小波变换序列。通过小波变换，将复杂的水文时间序列分解成了不同频率块的分过程，即小波变换序列。
（2）WANN的构造。ANN 的输入为X ＝［W1（t），W2（t），…，WP（t），CP（t）］T，输出为Y＝［Q（t＋T）］。网络模型结构为：P＋1—P＋1—1，即三层，隐层节点数为P ＋1。网络权重使用改进的BP 算法训练。WANN 的网络拓扑结构如图10.4所示。
图10.4 WANN网络拓扑结构图
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