模糊关系及模糊矩阵在水文预报中的应用

模糊关系是模糊数学的重要概念。客观事物之间普遍存在某种联系，集合论中的“关系”就是这种联系的抽象，它描述了事物间的精确联系。而模糊关系则是从更深刻意义上表现了事物间更广泛的联系。普通关系强调事物之间是否存在关系，而模糊关系则可以给出事物之间相关的程度。

9.3.2.1　模糊关系的概念

对于普通关系来说，两事物间要么有这种关系，要么没有这种关系，泾渭分明。然而在实际问题中，事物间的许多关系很难说是“有关系”或“无关系”。如在进行中长期水文预报时，我们可以找到很多与预报对象有关的预报因子，这些因子对预报对象都有一定的影响，但有时会发现去掉某个因子对预报精度影响并不是很大。原因在于各因子对预报对象的影响有程度上的差异，有的影响大，有的影响小。模糊数学中将这种具有程度上差异的关系称为模糊关系。其定义如下：

9.3.2.2　模糊矩阵

（1）模糊矩阵的概念。当论域为有限时，模糊关系可以用矩阵表示，称此矩阵为模糊矩阵。对模糊关系的运算完全可以通过模糊矩阵来进行。由于模糊矩阵比较直观，运算方便，在实际应用时常将模糊关系转化为模糊矩阵。模糊矩阵的数学描述如下：

其中，rij＝R（ui，vi）∈［0，1］（1 ≤i≤m，1≤j ≤n）。如果rij∈｛0，1｝，即矩阵R的元素只取0和1 两个值，称R为布尔矩阵。

模糊零矩阵O、模糊单位矩阵I 和模糊全矩阵E，它们与普通零矩阵、单位矩阵和全矩阵相同。

Aλ 为布尔矩阵。

（3）模糊相似矩阵。设模糊矩阵为A＝（aij）（i ＝1，2，…，n；j ＝1，2，…，m），若aij＝1，则模糊矩阵A具有自反性；若aij＝aji，则矩阵A 具有对称性。若模糊矩阵A 同时满足自反性和对称性，则称为模糊相似矩阵。

9.3.2.3　示例

（1）模糊关系示例。预报对象为某站的年最高水位，找到了四个因子，它们是500bPa高度场、海温、太阳黑子相对数、该站头年最高水位，与预报对象的相关系数分别为0.65、0.70、0.75、0.50。此问题的论域U＝｛高度场，海温，太阳黑子数，头年最高水位｝，V＝｛年最高水位｝。则U×V 的模糊关系隶属度为：

用模糊矩阵表示为：(www.xing528.com)

（3）截矩阵示例。设模糊矩阵为：

当λ＝0.5 时，由式（9.6）得λ—截矩阵为：