现代中长期水文预报方法及其应用-基本思想和计算方法

在研究变量y 与因子x1，x2，…，xm之间的函数关系y ＝f（x1，x2，…，xm）时，人们通常是通过一组观测数据yj，｛xj1，xj2，…，xjm｝（j ＝1，2，…，n）来寻求变量y 与因子x1，x2，…，xm之间的函数关系f。同时，由于观测数据总是带有观测误差，人们在考虑y与因子x1，x2，…，xm之间的关系时可能会忽略一些作用很小的未知因子，所以，人们一般用带有随机误差的模型

来刻化观测数据yj与｛xj1，xj2，…，xjm｝之间的关系。对于式（8.1）这种带有随机误差的模型，人们在一定的假设条件下，采用数理统计的方法来寻求函数关系f 的最优估计。

对于线性的函数关系f，式（8.1）称为线性模型，对它已经研究得比较透彻，有成熟的计算方法。例如，对于线性模型，式（8.1）表达为：

令z ＝y－a0，上式表达为：

当有一组观测数据zj，｛xj1，xj2，…，xjm｝（j ＝1，2，…，n）时，式（8.3）可写成矩阵形式：

其中(www.xing528.com)

可以采用最小二乘法估计参数θ，估计式为：

对于非线性的函数f，式（8.1）称为非线性模型，对它的研究则极为困难，特别是因子数较多的高维问题，除少数可以化为线性模型处理以外，绝大多数情况都难以直接分析。针对以上问题，统计学家提出了投影寻踪方法，它把高维数据投影到低维子空间上，寻找能反映出高维数据结构特征的投影，以达到分析高维数据的目的。设投影值为Z，则

式中：A为投影矩阵。于是研究Y 与X 的高维问题就变成了研究Y 与Z 之间的低维甚至一维问题了，这不仅可以使数据点较为集中，便于考察数据结构特征，而且可以在屏幕上作图，以便了解变量y 与因子投影之间的变化趋势，为我们提供了分析高维数据的有效方法。

投影寻踪方法包括线性投影、投影指标和最优投影方向三个基本概念。下面分别予以介绍。