连续小波变换在现代水文预报中的应用

7.2.2.1　基本概念

图7.7　Bior2.4对应的分解尺度、小波函数和重构尺度、小波函数波形图

图7.8　Bior3.3 对应的分解尺度、小波函数和重构尺度、小波函数波形图

图7.9　Bior4.4对应的分解尺度、小波函数和重构尺度、小波函数波形图

叫分析小波（Analyzing Wavelet）或连续小波，φ（t）叫基本小波或母小波（Mother Wavelet）。则对于信号f（t）∈L2（R）的连续小波变换（continue wavelet transform，CWT）定义为：

式中：“＜＞”表示内积；Wf（a，b）称为小波变换系数；a 是尺度伸缩因子；b 是时间平移因子；φa，b（t）是由φ（t）伸缩和平移而成的一簇函数。

7.2.2.2　连续小波变换的时频分析特性

和频率窗

小波连续变换的频域划分有一相对恒定的宽度，称之为Q结构。当尺度增加时，时间窗变宽，而频率窗变窄，适合于提取多成分信号中的低频成分；当尺度减小时，时间窗变窄，而频率窗变宽，适合于提取多成分信号中的高频成分。因此，小波变换既具有时间局部化能力，也具有频率局部化能力。图7.10给出了小波变换的时间—频率窗示意图。

图7.10　小波变换时间—频率窗（a1＜a2）

由此可见，通过时间尺度a 的膨胀和参数b的移动，利用小波分析的带通特性，就可以将信号分解到各个频带上去，同时保留信号各分量的时间信息。其特点是：在高频范围内时间分辨率高，在低频范围内频率分辨率高。因此小波分析在时域和频域中均具有局部化能力。

7.2.2.3　连续小波变换方法

连续小波变换可以分成四个步骤来完成：

1）选择适当的小波函数及其时间尺度a 值。

2）从信号的起始位置开始，将小波函数和信号进行比较，计算小波系数，如图7.11（a）所示。

图7.11　连续小波变换

（a）小波系数C1；（b）小波系数C2；（c）小波系数C3(https://www.xing528.com)

3）沿时间轴移动小波函数，即改位置变参数b，在新的位置计算小波系数，直至信号终点，如图7.11（b）和图7.11（c）所示。

4）改变时间尺度a 值，重复2）、3）步。

由于小波函数具有紧支性，它与信号比较，就相当于截下信号的一小部分来计算小波系数，这样小波变换就具有了时间局部化能力。改变位置参数b 使小波函数在信号上沿时间轴移动，便得到了不同时间位置处的小波系数。小波系数表示小波与信号的相似程度，小波系数越大，两者越相似。由于各时间尺度a 的小波函数具有不同的频带范围，并有一个频率中心，因此小波系数的大小还反映了信号在这一频率中心周围的频率成分的多少，小波系数越大，信号在这一频率中心周围的频率成分就越多。

通过以上计算，能够计算出小波系数Wf（a，b），Wf（a，b）随参数a、b 变化，以b 为横坐标、a 为纵坐标可以绘制出小波系数的二维等值线图。图7.12 是宜昌站年平均流量Marr小波变换系数时频图^[1]。

图7.12　宜昌站年平均流量Marr小波变换系数时频图