GM(1,N)模型在现代中长期水文预报中的应用

GM（1，N）是常用的状态分析模型。它反映n个变量对于因变量一阶导数即变化率的影响，故称GM（1，N）为n个序列的一阶线性动态模型。

5.3.3.1　计算方法

其中，N 为变量个数，m为序列长度。建立微分方程为：

于是，求解微分方程式（5.20）得到GM（1，N）模型的时间响应函数为：

累减还原式为：

图5.2　GM（1，N）模型程序计算流程图

式（5.21）和式（5.22）即为GM （1，N）的预测模型。

GM（1，N）的精度检验方法与GM（1，1）模型类似，同时增加均方差、变差系数等统计参数的考察。

5.3.3.2　程序设计

（1）程序计算流程。根据GM（1，N）模型的计算方法和步骤，设计程序计算流程如图5.2 所示。计算过程与GM（1，1）模型基本相同。

（2）程序代码。类似GM （1，1）模型，GM（1，N）模型包括参数估计、模拟计算、预测等子程序，分别介绍如下。

1）参数估计子程序：程序输入原始序列X0（1 to N，1toM）、变量个数（包括预报对象）N、序列长度M，其中X0（1，1 toM）为预报对象序列，X0（2 toN，1 toM）为N－1 个预报因子序列；程序输出系数向量Z（N），其中Z（1）为发展系数，Z（2 toN）为驱动系数。其程序代码如下：

2）GM（1，N）模拟子程序：程序输入变量个数N、建模序列长度M，1 AGO序列X1（N，M）、模型参数Z（N）；输出模拟序列X（M）。代码如下：

3）预测子程序：程序输入模型参数Z（N），建模序列长度M，变量个数N、1 AGO序列X1（N，M）及预报步数FT，输出预报序列值FX（FT）。其代码如下：

4）序列统计参数计算子程序：程序输入序列X（N）及序列长度N，输出均值Ex、序列的均方差Sx及变差系数Cv。其代码如下：

GM（1，N）模型精度检验程序与GM（1，1）模型相同，其程序代码在这里不再介绍。

5.3.3.3　应用实例

以金沙江屏山站1950～2005 年年径流量为预报对象，5～9 月月平均流量为预报因子，建立GM（1，N）模型。序列长度N＝56，用前46 年资料建模，后10 年资料对模型进行检验。

对所有序列作1 AGO后形成的累加矩阵为：

由式（5.18）计算得到模型参数见表5.8。

表5.8　屏山站年径流GM（1，N）模型参数率定成果表

将模型参数代入式（5.21）得到GM（1，N）模型的时间响应函数为：

应用时间相应函数及式（5.22）进行模拟计算，模拟序列的精度及统计参数见表5.9，实测值与模拟值对比如图5.3所示。

表5.9　屏山站年径流GM（1，N）模型模拟精度成果表

图5.3　屏山站年径流GM（1，N）模型模拟值与实测值对比图

使用建立的GM（1，N）模型，对屏山站1996～2005年10年的年径流量进行预测，结果见表5.10。(www.xing528.com)

表5.10　屏山站年径流GM（1，N）模型预测成果表

预测误差小于10%的合格率为90%，平均相对误差为4.1%，精度较高（表5.11）。预测值与实测值对比如图5.4所示。

表5.11　屏山站年径流GM（1，N）模型预测精度成果表

图5.4　屏山站年径流GM（1，N）模型预测值与实测值对比图