用圆谐变换实现光学相关

除了上节提到的尺度变化问题外，光学处理系统也对物体的旋转敏感。为了解决这一困难，下面讨论圆谐函数变换。已知一个二维函数f（r，θ）在（0，2π）区域连续并可积，则可将它展成傅里叶级数：

式中

是傅里叶系数，它是向径的函数；Fm（r，θ）=Fm（r）eimθ称为m阶圆谐函数（Circular Harmonic）。

若物体旋转一角度α，则其目标函数可以写成

于是m阶圆谐函数发生一个mα弧度的位相变化。假定用f（x，y）和fα（x，y）分别代表物函数f（r，θ）和f（r，θ+α），当把该旋转物函数f（r，θ+α）作用于4f系统的输入端时，输出端光场分布中的相关项将按下式进行运算：

显然，若α=0，则自相关峰出现在坐标原点x=0，y=0。将上述积分变换成极坐标系，则在原点（0，0）相关的极坐标表达式为

将式（7.4.1）、（7.4.3）代入式（7.4.5），得

在推导中，应用了极坐标系下δ函数的表达式：

根据圆谐函数的定义，式（7.4.6）也可改写成以下形式：

式中

式（7.4.6）所表示的相关函数包含了各级圆谐函数分量的贡献，表明交叉相关的每个圆谐波分量都有一个不同的相移mα，当旋转角α变化时，C（α）显然不满足旋转不变的条件。但是，当仅利用某一个（某一级）圆谐函数分量作为参考函数时，就可实现旋转不变。例如，设(www.xing528.com)

则目标函数f（r，θ+α）与参考函数fref（r，θ）在原点（0，0）的相关值，即式（7.4.6）可写成

或简写成

C(α)=Ameimα

这时相关函数的强度是

它与目标图形的旋转角α无关，因而是旋转不变的。

这一旋转不变的相关识别过程，显然强烈地依赖于极坐标系原点的选择及圆谐函数分量的级次m的选择。一般的原则是把原点选在图形的对称中心或大致的中心附近，并选择较低级次的圆谐函数分量作为参考信号。

圆谐函数的匹配滤波器通常是采用计算机原生全息图来制作。

以上3节所介绍的相关检测方法都属于范德·拉格特匹配滤波相关器类型，简称范德·拉格特相关器（Vander Lugt Correlator，VLC），其共同特点是在进行目标识别时，都要先制作待识别目标的复数匹配滤波器（可分为透射型和反射型两种），当匹配滤波器制成后，输入中物体的个数对VLC的性能不产生影响，即抗干扰性强。但要对另外的目标进行识别时，还要重新制作该目标的匹配滤波器，这样操作很不方便，从而不容易进行实时识别，而且自适应能力较差。

VLC能实现对输入图像的比例不变和旋转不变识别，并已实现了小型化，其外观尺寸已做到31 cm×23 cm×15 cm，采用半导体激光器作为光源，用微型透镜部分准直，内置傅里叶变换透镜和匹配滤波器，以实现待识别物体的相关检测。