上节提到，复空间滤波器用于相关检测时，虽然具有位移不变（Shift Invariant）的特点，但对输入信号的旋转和尺寸变化是十分敏感的。换言之，由复空间滤波器所形成的输入信号的尺寸必须是精确匹配的，否则就会使相关峰大幅度下降。尺寸失调或放大率失调（Miscaling）的问题可以通过梅林变换（Mellin Transform）予以减轻。
梅林变换是卡沙森特（Casasent）和波沙弟斯（Psaltis）提出的。较早曾被成功地用于时变电路（Time-Varying Circuit）理论和空间变图像恢复（Space-variant Image Restoration）中。
函数f（ξ，η）沿虚轴的二维梅林变换定义为
式中，p、q代表频域坐标系，ξ、η代表空域坐标系。如果将ξ=ex和η=ey代入式（7.3.1），则对函数f（ξ，η）的梅林变换即为对函数f（ex，ey）的傅里叶变换：
式中，为简化符号已令M（i p，i q）=M（p，q）。由此可知，可以用光学傅里叶变换系统实现梅林变换，只要把输入送到一个“缩放”坐标系，在其中对自然的空间变量做对数式的缩放（x=lnξ，y=lnη）即可。例如，可以通过用一个对数放大器驱动阴极射线管的偏转电压，并将得到的缩放信号写入空间光调制器来实现这种缩放。从式（7.3.2）可看出，用光学方法实现梅林变换的主要障碍是对输入信号的非线性变换。
也可以定义逆梅林变换（Inverse Mellin Transform）如下：
式中，M-1表示逆梅林变换。可以证明，式（7.3.3）相当于以ξ=ex和η=ey为变量的傅里叶逆变换，二者是等价的。
在相干光学处理中，应用梅林变换的主要优点是其尺度不变特性（Scale-Invariant Property），即其模值与输入的标度大小变化无关。换言之，对于两个具有不同尺寸而其他方面完全相同的空间函数f（ξ，η）和f（aξ，aη），其梅林变换是尺度不变的，即
其中，a是任意尺度因子。
事实上，若令aξ=α，aη=β，则由式（7.3.1）有
上式两端取模值，并注意到|ei（p+q）|=1，由此不难看出式（7.3.4）成立，即|M{f（aξ，aη）}|与标度大小a无关。(www.xing528.com)
与傅里叶变换不同，梅林变换的模不是位移不变的，即
在相关检测中，用于梅林变换光路的频域匹配滤波器可采用全息方法来制作，也可采用计算机原生全息图（Computer Generated Hologram，CGH）来制作。采用光学全息方法制作的光路如图7.3.1所示。根据全息照相原理，底片在线性区工作条件下，按此方法记录的滤波器，其滤波函数可以写成
图7.3.1 梅林变换匹配滤波器的光学制作方法
式中
M(p,q)=|M(p,q)|eiφ(p,q)
现在把这个空间滤波器置于4f系统（见图6.1.6）的滤波平面P2上，把一透明物f（ex，ey）置于4f系统的输入平面P1，则类似于式（7.2.4），在输出平面P3上的光场复振幅分布为
式中，第1、2项代表零级衍射，呈现在输出平面的原点；第3、4项各代表相关项和卷积项，分别呈现在x=-α0和x=+α0处，与图7.2.2所示类似。这样就明白了在尺度或大小上差别很大的两个物函数，通过梅林变换后，有可能发生光学相关。
由此可见，在常规的光学信息处理系统中，实施梅林变换要求对输入物函数做非线性坐标变换（如图7.3.2所示）。它既可以用电子学方法实现，也可以借助于光学坐标变换器，用光学方法实现。在相关检测的应用中，梅林变换技术的重要性在于它在相干光学图像识别系统中的作用。卡沙森特和波沙弟斯已经报道了用光学和电子学寻址器件实现实时梅林变换的方法，有兴趣的读者可以参考相应文献。
图7.3.2 梅林变换框图
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