信息光学理论与应用：准单色光照明下的物像关系分析

实际的照明光源都不会是理想单色的，总具有一定的频带宽度，而成为非单色光。这时，由于不同频率的光波是独立地进行传播的，光扰动的振幅和位相随时间发生各自的变化，而且这种变化具有统计无关的性质，所以对非单色光照明情况的讨论要繁杂得多。为了简化讨论，这里只限于分析准单色光情形。若照明光波的时间频带宽度为Δν，其中心频率为ν0，并且满足条件

则称该光波为准单色光（Quasi-Monochromatic Light）^[1]。当用准单色光照明时，可设物平面上光扰动的分布函数为f（x0，y0；t）。要得到f（x0，y0；t）在像平面上的响应g（xi，yi；t），可先采用时间频域的傅里叶分析方法，把f（x0，y0；t）分解成一系列单色波的线性组合，这样就可应用前段对单色光照明下获得的结果，求出系统对每一单色波的响应，最后再把各个单色波的这些响应叠加起来，得到总的响应g（xi，yi；t）。整个过程示意如图3.2.2所示。下面具体分析准单色光照明时，光学成像系统的物像关系。

图3.2.2　准单色光照明时物像关系框图

先对f（x0，y0；t）求关于变量t的傅里叶变换，即

F（x0，y0；ν）是时间频率为ν的单色光波在物平面上的复振幅分布函数。按照前段对单色光情况的讨论，对于衍射受限成像系统，直接由叠加积分公式便可求得频率为ν的单色波在像平面上的响应：

G（xi，yi；ν）又可看成是实际输出像g（xi，yi；t）的时间频谱函数，从而有

假设系统的性态不随时间改变，并用中心频率为ν0的准单色光照明，此时，F（x0，y0；ν）只有在ν=ν0的窄频带范围内不为零，在此范围外可视为零。故在计算积分式（3.2.13）时，可近似地将脉冲响应函数h中的ν用ν0代替，于是，式（3.2.13）可写成

这样，就把叠加积分公式（3.2.1）推广到了准单色光情形。

由于光接收器（如肉眼、照相胶片和光电探测器件等）都只能感知光的强度，且其响应频率远小于光波频率，故光接收器探测到的光强度实际是瞬时光强在许多周期内的时间平均值。于是，光探测器所感知到的像平面上的光强度为

式中，〈〉表示对时间求平均值。将式（3.2.14）代入上式后得

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由于准单色光照明时，在物平面上的复振幅分布函数中，幅值随时间缓慢变化，而位相部分将因光波频率很高而随时间迅速变化。因此，物面上任意两点（x0，y0）和（x，y）处的光扰动可分别写成

将上式代入式（3.2.16）中，则有

而且，随着照明方式的不同，由式（3.2.16）和（3.2.18）会得出不同意义的结果。下面只讨论两类典型的照明方式，即相干照明和非相干照明。

（1）相干照明（Coherent Illumination）

在激光器发出的光波或普通光源通过针孔后（点光源）出射的光波等这类光源照明下，物平面上任意两点光扰动之间的位相差随时间的变化是恒定的，这种照明方式称为空间相干照明。此时，式（3.2.18）中的位相差的平均值等于常数。不失一般性，可令它等于1。于是由式（3.2.16）和（3.2.18），得到像面上的光强分布为

上式表明，在相干照明方式下，衍射受限光学成像系统对光场复振幅变换而言是线性空间不变系统；对于光强度的变换，则不是线性系统。

（2）非相干照明（Incoherent Illumination）

如在漫射光源、扩展光源（气体放电管和太阳等）这类光源照明下，物平面上各点的光扰动随时间的变化都是统计无关的，其位相取值在0～2π之间，完全是随机的，每秒变化次数在108量级。这时，式（3.2.16）中的〈f（x0，y0；t）f*（x，y；t）〉除了在点（x0，y0）足够小的邻域内不为零外，在其余区域的值全为零。于是，对于物平面上靠得很近的两点的光扰动，式（3.2.18）可写成

式中，ε为任意小的正数，或写成

将上式代入式（3.2.16）中，得到非相干照明时像面上的光强分布为

式中，I0（x0，y0）=|f（x0，y0）|2是物平面上的强度分布；hI（xi，yi）=|h（xi，yi）|2称为系统的强度点扩展函数。上式表明，在非相干照明方式下，衍射受限光学成像系统对光强度的变换是线性空间不变的，而对复振幅的变换则不是线性的。