透镜的傅里叶变换性质概述

会聚透镜较突出和较有用的性质之一，是它具有进行二维傅里叶变换的本领。傅里叶变换运算一般要使用复杂而昂贵的电子学频谱分析仪才能完成，然而这种复杂的模拟运算却可采用一个简单的光学装置（可以是一个透镜）来实现，且运算速度非常快（理论上为光速）。为了理解透镜的傅里叶变换性质，可以先分析光波通过物和透镜后其光场分布最一般的表达式。

如图3.1.4，将一个平面透明物置于距透镜L前方d1处，令其透过率函数为f（x，y）。现用一单位振幅的平面波垂直照明该物，则紧靠物后的光场分布为f（x，y）。现考察在透镜后方相距为d2处的P4平面上的光场分布g（x，y）。为此，先在透镜顶点处分别作两个垂直于主光轴的参考平面P2、P3与之相切，再按照光波传播的过程，依次求出由P1平面传到P2平面，再由P2传到P3平面，最后由P3传到P4平面时光场的分布情况。

图3.1.4　透镜的一般变换关系

光波由P1平面到P2平面的传播过程可视为物函数对入射光波的菲涅耳衍射，则由式（2.4.9）知，P2平面上的光场分布应为

式中略去了常数位相因子。

P3平面上的光场可由P2面上的光场分布乘以透镜的透过率函数式（3.1.6）求得，即

最后，P4平面上的光场分布可视为光场f′l（x，y）由P3面到P4面的菲涅耳衍射结果，即

上式的积分表达式为

式（3.1.9）和式（3.1.10）描述了物置于透镜前任一位置时，物光场与衍射光场之间的一般关系。其中d2不一定是像距，也不一定是焦距。

下面暂不考虑透镜孔径对入射光场的影响〔即令P（x，y）=1〕，并在透镜后焦面上来考察几种特定情况下的衍射光场分布。这时，先将式（3.1.10）展开，经整理和简化（见习题3.2），最后得透镜后焦面上的光场分布为

由此可见，若物置于透镜前方，当用单位振幅的平面波垂直照射时，则在透镜后焦面上得到物函数的傅里叶频谱。但由于在傅里叶变换式前面有一位相因子，因而后焦面上的光场一般将产生位相弯曲，只有在特殊情况下此位相弯曲才会消失。

（1）物置于透镜前焦面时

这时d1=f，式（3.1.11）中的位相因子消失，遂得透镜后焦面上的光场分布为

上式表明，当物函数置于透镜前焦面上时，在透镜的后焦面上将得到物函数的准确的傅里叶变换。因此，当用平面波垂直照明时，常把透镜的后焦面叫作傅里叶变换平面，或空间频谱平面。

（2）物平面紧靠透镜前表面时

这时d1=0，由式（3.1.11）得后焦面上的光场分布为

上式表明，后焦面上的光场分布仍然是物函数的傅里叶频谱，只是多了一个位相因子，但其光强分布可写为

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光强分布I（x，y）是可测量的，而位相分布在这种测量中不起作用，故由测量结果可知物的功率谱。

（3）物置于透镜后时

如图3.1.5所示，设物平面置于距透镜后焦面距离为d处，一振幅为A的平面光波入射到透镜L上。这时通过透镜的出射光波变为会聚球面波，其在物前表面的光场分布可视为由会聚球面波的中心O向左发出的发散球面波在物前表面上的波面二次曲面近似，其复振幅为

图3.1.5　物置于透镜后的变换

于是，在物后表面上的光场分布为

式中，为物面被照明部分的孔径函数。可以这样来理解此孔径函数，即照明光斑的有限大小在数学上可以由透镜的光瞳函数沿着光束圆锥投影到物平面上的照明区域来表示，即

如果仍以透镜的孔径尺寸D为标准，则有

结果给出物平面上的一个有效光瞳函数。

由于光场gt（x，y）从物后表面传播到透镜后焦面的过程可视为菲涅耳衍射过程，故由公式（2.4.9）知，后焦面上的光场分布可写为

其积分表达式为

如果暂时假定物面尺寸比照明光束口径小，而令，则式（3.1.19）可简化成

上式表明当物置于透镜后时，在透镜后焦面上仍得到物的傅里叶频谱，仅多一个位相弯曲因子。但其强度分布仍然是物的功率谱，即

当d=f时，式（3.1.20）与式（3.1.13）的结果一致，说明物无论是紧贴于透镜前表面还是后表面放置，效果都是一样的。

顺便指出，由于，故对于给定的空间频率（fx，fy），随着d增大（或减小），x，y的绝对值也增大（或减小），这时频谱分布将由中心向外扩展（或向中心收缩）。于是，可通过改变物的位置来调整其傅里叶变换的空间尺寸。这种灵活性，在实验上为相干光系统中空间滤波技术的应用带来很大方便。

总结前面的讨论，可以看到，用透镜来实现傅里叶变换，可以方便地采用两种途径：一种是采用平行光照明，在透镜的后焦面（无穷远照明光源的共轭面）上观察到物的频谱（除一个位相因子外）；另一种是用点光源照明衍射屏，在点光源的像平面上将得到衍射屏函数的傅里叶变换谱（无论衍射屏置于透镜前还是透镜后），且频谱的零频位置就在点光源的像点处〔式（2.6.7）〕。这些结论在进行光学信息处理时，具有重要的应用价值。