菲涅耳-基尔霍夫衍射公式-信息光学理论与应用

若对孔径∑采取具体的照明方式并选定了具体的格林函数后，基尔霍夫衍射公式会有更具体的积分表达式。首先注意到从孔径到观察点的距离r01通常远长于光波长，因而，式（2.2.9）中第二式遂变成

将上式及式（2.2.6）代入公式（2.2.16），得到

现假设孔径是由位于P2点处的点源所产生的单色球面波照明的，P2与P1点的距离为r21（见图2.2.3），则

图2.2.3　单色点光源照明孔径

式中，A为入射光在距点光源单位距离处的振幅。同样也有k≫，故仿照式（2.2.17）有

于是，式（2.2.18）化为

上式称为菲涅耳-基尔霍夫衍射公式。下面对这个公式做一些讨论。(www.xing528.com)

①由此式可以看出，点光源位置与观察点位置是对称的。若将同一个点光源与观察点位置互换，所产生的衍射效果相同。这一结论称为亥姆霍兹互易定理（Helmholtz’s Reciprocity Theorem）。

②如果把式（2.2.20）改写成

其中

则可把式（2.2.21）解释为惠更斯-菲涅耳原理，即P0点的光场是由孔径内的无穷多个虚设的次级点源产生的，P1点的次级波源的振幅U′（P1）正比于投射到P1点上的波的振幅，但与惠更斯-菲涅耳公式（2.1.1）相比较可知

从而看出：

（a）惠更斯-菲涅耳公式中的倾斜因子K（θ）有了具体的形式。若P0点在与入射方向相同的一侧，且在近轴近似条件下，则cos（n，r01）=cos（n，r21）≈cos180°=-1，这时K（θ）=0，在这一方向上不存在波面。由此解释了“倒退波”是不可能的，这一结果解决了惠更斯-菲涅耳原理的不足。

（b）基尔霍夫衍射公式中出现了，这表明孔径∑上任一点的子波波源的振动位相比光源直接传到衍射场中P0点振动的位相要超前，但实验观察到的都是衍射花样的强度分布，而且人们关注的是相对强度分布，故公式中出现或不会影响理论与实验结果的一致。这就说明了为什么用惠更斯-菲涅耳原理处理衍射问题基本上是正确的。

附带指出，式（2.2.20）和式（2.2.21）虽然假设了孔径∑是在点光源照明情况下导出的，但是可以证明，对于更普遍的孔径照明情况，衍射公式也是成立的。因为任意的照明情况总可以分解为无穷多点源的集合，而由于波动方程的线性性质，可以对每个点源应用衍射公式。