信息光学理论与应用：空间-带宽积及其结果

若带限函数f（x，y）在频域中的区间|fx|≤Bx，|fy|＜By以外恒等于零，那么这个函数在空域|x|≤Lx，|y|≤Ly上的那部分可以用多少个实数值来确定呢？根据奈奎斯特判据和采样定理，要在空域中恢复该函数，则沿x、y两个方向上的采样点数分别为

而在整个这部分空域中的采样点数至少为

式中，4LxLy表示函数在空域中覆盖的面积，4BxBy表示函数在频域中覆盖的面积。函数在该区间可由16LxLyBxBy个采样值来近似表示。当f（x，y）是复函数时，每一个采样值都是复数，它应由两个实数值确定。所以，这时的16LxLyBxBy个复数采样值应由32LxLyBxBy个实数值确定。根据采样定理，XY平面上任一非采样点处的准确的函数值，应等于整个空域所有采样点上内插的sinc函数在该点的贡献之和。但由于sinc函数衰减很快，离该点足够远位置上的sinc函数对其贡献趋于0。因而在一定精度范围内，只需要该点周围有限数目的采样值，就可近似确定这一点的函数值。

空间-带宽积（Space-Bandwidth Product，SW）定义为函数在空域和频域所占面积的乘积，表示成

空间-带宽积是评价系统性能的重要参数，它既可以用来描述图像的信息容量，也可以用来描述成像系统、信息处理系统的信息传递和处理能力。例如，成像系统的空间-带宽积就等效于有效视场和系统截止频率所确定的通带面积的乘积。对于一个二维函数，例如图像，SW也决定了像面上可分辨像元的数目，这个数目也称为图像的自由度（Freedom）或自由参数N。当f（x，y）为实函数时，每个采样值为一个实数，则自由度为

当f（x，y）为复函数时，每个采样值为一个复数，它要由两个实数表示，故其自由度为

只有系统的SW大于待处理图像的SW时，才不会损失信息。此外，SW是一个不变量（Invariant），当函数（图像）在空间位移或产生频移时，随空间大小变化，带宽依反比关系变化。当然，系统的SW越大，传递信息的能力就越大，但设计和制造就越困难。(www.xing528.com)

本章重点

1.δ函数的意义和运算特性。

2.卷积和相关的意义及运算。

3.傅里叶变换诸定理及常用傅里叶变换对。

4.线性空间不变系统的特性。