信息光学理论与应用原始函数复原

在确定了临界采样间隔之后，剩下的问题就是选择具体的滤波器及其传递函数。这里有很大的选择余地，只要能使式（1.10.5）成立，不论其R的形式如何，都存在一个传递函数，使得只让FS（fx，fy）中的m=n=0项通过，而同时阻挡其他各项。例如，可以选择矩形滤波器，其传递函数为

相应的脉冲响应函数为

h(x,y)=F-1{H(fx,fy)}=4BxBysinc(2Bxx,2Byy)

上述滤波器将从FS（fx，fy）中绝对准确地复原出F（fx，fy），即

根据卷积定理，上式在空间域中的表示式为

亦即

再将奈奎斯特判据（1.10.5）代入上式，最后得(www.xing528.com)

上式称为惠特克-香农采样定理（Whittaker-Shannon Sampling Theorem）。它是一个插值公式，即用采样点的函数值去计算在采样点之间所不知道的非采样点的函数值。这个定理的重要意义在于：它表明在一定条件下，由插值准确恢复一个带限函数是可以实现的。办法是在每一采样点上放置一个以采样值为权重的sinc函数作为内插函数，并将它们线性组合起来，就得到了这种复原。

采样定理表明：一个连续的带限函数可由其离散的采样序列代替，而并不丢失任何信息。换言之，这个连续函数具有的信息内容等效于一些离散的信息采样。采样定理指出了重新产生连续函数所必需的离散值的最低数目以及由采样值恢复原函数的方法，即在空域插值或在频域滤波。

上述结果在形式上不是唯一可能的采样定理。因为在讨论中做了两种相当任意的选择：一是使用了方形的采样格点；二是选择了式（1.10.8）表示的传递函数。如果在这两处做别的选择，则将导出别种形式的采样函数。例如，若将带限函数的定义域R选为圆形，则其传递函数为

相应的脉冲响应函数为

由此便可导出另一种插值公式（参见习题1.17），所得结果其有效性不一定比公式（1.10.9）差。

最后说明一下，严格来说，带限函数在物理上是不存在的。任何在空域中分布在有限范围内的信号（函数），其频谱在频域的分布都是无限的。但这些函数的频谱随着频率提高，到一定程度后总会大大减小，大部分能量总是由一定频率范围内的分量所携带。实际上，由于观察仪器（包括人眼）的通频带总是有限的，即使某函数的频带很宽，观察仪器也感知不到其高频部分，因此实际应用时，可以把它们近似看作带限函数，而忽略高频分量引起的误差。