傅里叶-贝塞尔变换信息光学理论与应用

在极坐标系中，可分离变量函数最简单的情况是圆对称函数，即只是半径r的函数：

由于大部分光学系统都具有圆对称性，所以这种圆对称函数在解决光学问题中是十分重要的。将式（1.7.8）代入式（1.7.5）中，得

再将式（1.7.9）代入式（1.7.7）中，得

由于变换结果仅是半径ρ的函数，不再依赖角度φ，因而圆对称函数的傅里叶变换本身也是圆对称的，它可通过一维计算式（1.7.10）求出。这种特殊的变换由于出现频繁，给它一个专门名称叫作傅里叶-贝塞尔变换（Fourier-Bessel Transform），用符号B{·}表示。

用与上面完全相同的论证方法，圆对称函数G0（ρ）的傅里叶逆变换可表示为

因此，对于圆对称函数，变换式（1.7.10）和逆变换式（1.7.11）形式完全相似。

由傅里叶积分定理可以直接推出，在gr（r）连续的每一个r值上有

此外，采用缩放与反演定理可直接证明

但在使用上式时应注意与式（1.6.3）的细微差别。总之，傅里叶变换中的所有性质，在傅里叶-贝塞尔变换中都有着完全对应的结论。

【例1】求圆域函数circ（r）的傅里叶-贝塞尔变换。(www.xing528.com)

【解】由式（1.1.15）知

遂由式（1.7.10），圆域函数的变换式可写成

作变量代换，令r′=2πrρ，并利用贝塞尔函数关系式：

由式（1.7.14）得

B{circ（r）}仅是ρ的函数，也是圆对称的，其变换结果的图形如图1.7.1所示，中央峰值为π，零点沿径向的位置是不等距的。这个函数的一个便于应用的归一化形式为，它在原点之值为1。这个特殊的函数叫作贝森克函数（Besinc Function）。

图1.7.1　圆域函数的变换

【例2】求函数gr（r）=δ（r-r0）的傅里叶-贝塞尔变换。

【解】函数gr（r）=δ（r-r0）代表一个半径为r0的圆周上的线δ函数，它是圆对称的。根据公式（1.7.10）有

这里，最后一步骤利用了δ函数的筛选特性。