可分离变量函数的变换信息光学理论与应用

一个二元函数在某种坐标系内若能写成两个一元函数的乘积，则称此函数在该坐标系内是可分离变量的。这种情况，在直角坐标系中可写成

而在极坐标系中可表示成

函数的可分离性常常可使复杂的二维计算得以简化为更简单的一维计算。可以证明：可分离变量函数的频谱函数在频域中也是可分离变量函数。例如，在直角坐标系中，有

即

G(fx,fy)=Gx(fx)Gy(fy)

这样，对于在直角坐标系中的可分离变量函数g（x，y），其频谱函数G（fx，fy）可以由二维积分简化为一维积分求解。

为了导出在极坐标系中可分离变量函数的变换式，首先写出函数g（r，θ）在直角坐标系中的变换式：

然后利用下列换算关系：

这时变换式中的指数因子在极坐标系中表示为(www.xing528.com)

直角坐标系中的积分元dxdy在极坐标系中变为rdθdr。对于整个平面上的积分，在直角坐标系中积分限为（-∞，∞），而在极坐标系中则r（或ρ）的积分限是（0，∞），θ（或φ）的积分限是（0，2π）。这样，在极坐标系中可分离变量函数g（r，θ）=gr（r）gθ（θ）的傅里叶变换可写成

根据贝塞尔函数的关系式

式中，Jk（x）为k阶贝塞尔函数。式（1.7.2）中的指数因子遂变为

于是有

令

则式（1.7.4）可写成

上式表明，在极坐标系中可分离变量的函数g（r，θ）=gr（r）gθ（θ），其频谱函数在极坐标系中也是可分离变量的。其中关于φ的函数是eikφ，关于ρ的函数是Hk{gr（r）}。Hk{gr（r）}由式（1.7.6）给定，称为函数gr（r）的k阶汉开尔函数（Hankel Functions of kth Order）。