二维傅里叶变换基本定理-信息光学理论与应用

本节讨论傅里叶变换的一些基本数学性质，进而把它们概括为一些基本定理，在后面各章将广泛应用。为了行文简洁起见，首先假设函数f（x，y）、g（x，y）和h（x，y）存在傅里叶变换，其频谱函数分别是F（fx，fy）、G（fx，fy）和H（fx，fy）。

1.线性定理（Linearity Theorem）

设a、b为任意常数，则

即函数线性组合的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的同样的线性组合。线性定理反映了波的叠加原理（Superposition Principle）。

当a=b=1时，有

其逆也成立。上式称为傅里叶变换中的相加定理（Addition Theorem）。

2.缩放和反演定理（Scaling and Inversion Theorem）

即原函数在空域坐标（x，y）中的“伸展”（a、b＞1时），将导致其频谱函数在频域坐标（fx，fy）中的“收缩”，以及整个频谱幅度的一个总体的变化。反之，原函数在空域坐标（x，y）中的“收缩”（a、b＜1时），将导致其频谱函数在频域坐标（fx，fy）中的“伸展”，以及整个频谱幅度的一个总体的变化。例如，在单缝的夫琅和费衍射（一维傅里叶变换）实验中，当缝变宽（空域坐标伸展）时，衍射花样向中心收缩（频域坐标收缩）；而当缝变窄时，衍射花样从中心向外伸展。

显然，频谱函数的有效宽度和原函数的有效宽度之间存在反比关系。在一维情形下即有（见习题1.8），

上式称为傅里叶变换反比定理（Inverse Ratio Theorem）。当式（1.6.3）中的a=b=-1时，则

上述变换性质称为反演（Inversion），或称为对称性定理（Symmetry Theorem）。

3.位移定理（Shift Theorem）

即原函数在空域中的平移，将导致频谱函数在频域中的一个线性相移。反之，原函数在空域中的相移会引起频谱函数在频域中的平移。式（1.6.7）又称为频率搬移定理（Frequency Shift Theorem）。

4.转动定理（Rotational Theorem）

设F{f（r，θ）}=F（ρ，Φ），则

即当原函数在空域中转动α角时，其频谱函数在频域中也转动了同样的α角。

5.帕色渥定理（Parseval Theorem）

即信号在空域中的能量与其在频域中的能量相等，故上式又称为能量守恒定理。

6.广义帕色渥定理（Generalized Parseval Theorem）

注意：G*（fx，fy）并不是g*（x，y）的傅里叶变换〔参见式（1.6.30）〕。广义帕色渥定理可以用来计算一些较复杂的积分（参见习题1.11）。

7.卷积定理（Convolution Theorem）

即两个函数卷积的傅里叶变换等于这两个函数各自傅里叶变换的乘积；而两个函数乘积的傅里叶变换等于这两个函数各自傅里叶变换的卷积。换言之，通过傅里叶变换，可将空域（或频域）中的卷积运算对应于频域（或空域）中的乘积运算。因此，该定理为复杂的卷积运算提供了一条捷径：先求两个函数各自的傅里叶变换，再相乘，然后对该乘积取傅里叶逆变换。这一特性在傅里叶光学中非常有实用价值。

8.互相关定理（Cross-Correlation Theorem）^[3]

式（1.6.13）的证明可以由下列关系得到

F*（fx，fy）G（fx，fy）称为函数f（x，y）与g（x，y）的互功率谱（Mutual Power Spectrum）。所以两个函数的互相关函数与它们的互功率谱构成傅里叶变换对。

9.自相关定理（Autocorrelation Theorem）

即信号的自相关函数与其功率谱函数之间存在傅里叶变换关系。

10.积分定理（Integrating Theorem）

在函数f（x，y）连续的各点上，有

即对函数连续进行变换和逆变换，又重新得到原函数。(www.xing528.com)

11.迭次变换定理（Iterative Transform Theorem）

在函数f（x，y）连续的各点上，有

即对函数f（x，y）连续作两次傅里叶变换或两次傅里叶逆变换，得其“镜像”，同时也反映了傅里叶变换的对称性。

上述积分定理与迭次变换定理，从光学成像系统的观点来看是没有本质的区别的。因为这两个定理所描述的物场分布f（x，y）处于光学成像系统的输入面，而像场分布FF-1{f（x，y）}或F-1F{f（x，y）}〔或FF{f（x，y）}、F-1F-1{f（x，y）}〕位于输出面。式（1.6.18）表明输入面和输出面采用的坐标系取向相同；而式（1.6.17）则表明输出面相对于输入面采用反演坐标系。但不管采用什么样的坐标系，都不会改变光学系统的成像性质。

12.微分变换定理（Differential-transform Theorem）

设，则有

13.δ函数的微分变换定理

令，则

14.积分变换定理（Integral-transform Theorem）

【证明】由阶跃函数性质，有

而

F{f(x)*step(x)}=F{f(x)}·F{step(x)}

再由式（1.1.8）及式（1.5.8），最后便得

*15.矩定理（Moment Theorem）

函数f（x，y）的k+l阶矩定义为下列积分：

它完全由函数f（x，y）的傅里叶变换F（0，0）的性态决定；或者说F（fx，fy）在原点附近的性态，包含了关于函数f（x，y）的各阶矩的信息。矩定理实际上是傅里叶变换微分定理的一种应用。

（1）零阶矩

此时k=l=0，即

（2）一阶矩

这时k=1，l=0或k=0，l=1，由式（1.6.20）得

当函数f（x，y）表示某随机变量的概率密度时，其一阶矩就是该随机变量的统计平均（数学期望）。

（3）二阶矩

这时有3种情况：k=l=1；k=2，l=0；k=0，l=2。

即有

该二阶矩在概率论中称为均方值（见第10章）。

16.共轭变换定理（Conjugate Transform Theorem）

推论 若f（x，y）是非负的实函数（例如光强度），则有

具有上述性质的函数称为厄米特函数（Hermite Function）。