傅里叶变换在信息光学中的应用

在处理线性系统时，常用的方法是把一个复杂的输入分解成许多较简单的“基元”的输入，计算该系统对每一个这样的“基元”函数的响应，再把所有的这些单个响应叠加起来便得到总响应。傅里叶分析提供了一个进行这种分解的基本手段。

由傅里叶逆变换公式（1.5.2）看出，可以把二维傅里叶变换看作是把函数f（x，y）分解成形式为exp[i2π（fxx+fyy）]的基元函数的线性组合，f（x，y）的傅里叶频谱F（fx，fy）只不过是一个权重因子，必须把它加到各个基元函数上才能综合出所需要的函数。换言之，傅里叶逆变换提供了分解函数的一种手段。

上述基元函数具有许多有意义的性质。

（1）我们知道，在xOy平面上传播的平面波，其复振幅可以表示为

式中，cosα、cosβ分别表示平面波波矢的方向余弦。把上式与前述基元函数对照，可知

即基元函数代表的是传播方向为

的单位振幅的平面波。随着（fx，fy）不同，此平面波在xOy平面上的取向也不同。

（2）对于任意一对特定的（fx，fy），当（fxx+fyy）=N（N为整数）时，有exp[i2π（fxx+fyy）]=1，相应的基元函数在由(www.xing528.com)

表示的直线上“位相为零”（或为2π的整数倍）。因此，如图1.5.1所示，这些等位相线的法线与x轴的夹角θ可用fx、fy表示成

（3）引入了空间频率（或空间周期）的概念。众所周知，时间频率表示特定波形在单位时间内重复的次数。类似地，空间频率表示特定波形在单位间距内重复的次数。空间频率也表示透镜和照相底片等的分辨率，并且在图像分析、信息处理方面是一个不可缺少的物理量。空间频率的倒数称为空间周期。由图1.5.1可看到，空间周期（即零位相线间的间距）显然为

图1.5.1　函数ei2π（fxx+fyy）的零位相直线族

而在x、y轴方向的周期为，故fx、fy分别称为x、y轴方向的空间频率，而沿等位相线法线方向的空间频率为

综合上述讨论可以看出傅里叶逆变换的物理意义是：物函数f（x，y）可看成是无数振幅不同（|F（fx，fy）dfxdfy|）、方向不同（cosα=λfx，cosβ=λfy）的平面波线性叠加的结果。这种分解方法通常称为傅里叶分解（Fourier Decomposition）。理解这一点，对于讨论线性系统尤其是线性空间不变系统的性质和作用是很重要的。