卷积运算性质-信息光学理论与应用

1.线性特性

设a，b为任意常数，则对于函数f（x，y），h（x，y）和g（x，y），有

同样有

2.复函数的卷积

设f（x，y）与h（x，y）都是复函数，它们可表示为

f(x,y)=fR(x,y)+ifI(x,y)

h(x,y)=hR(x,y)+ihI(x,y)

式中，下标R、I分别表示f（x，y）和h（x，y）的实部和虚部。这样，f（x，y）和h（x，y）的卷积g（x，y）表示为

g(x,y)=[fR(x,y)+ifI(x,y)]*[hR(x,y)+ihI(x,y)]

利用卷积的线性特性可将上式进一步写成

式中，gR（x，y）和gI（x，y）分别为g（x，y）的实部和虚部，即

gR(x,y)=fR(x,y)*hR(x,y)-fI(x,y)*hI(x,y)

gI(x,y)=fR(x,y)*hI(x,y)+fI(x,y)*hR(x,y)

可见，复函数的卷积运算可以归结为实函数的卷积运算。

3.可分离变量

对于直角坐标系下的两个可分离变量的二元函数，其二维卷积也是可分离变量函数。换言之，若f（x，y）=fx（x）fy（y），h（x，y）=hx（x）hy（y），则(www.xing528.com)

4.卷积符合交换律

5.卷积符合结合律

6.坐标缩放性质

设f（x，y）*h（x，y）=g（x，y），则

式中，a≠0，b≠0。需要指出，尽管式中各函数的宗量具有ax、by的形式，但这里的卷积运算仍以x、y为参变量，即所有函数的图像都是对应于x、y的曲线。

7.卷积位移不变性

若f（x，y）*h（x，y）=g（x，y），则

卷积位移不变性表明，当f（x，y）和h（x，y）中任一函数在x、y方向分别平移x0、y0后，其卷积所产生的函数图像的形状和大小不变，只是在x、y方向上同样分别平移了x0、y0。

8.函数f（x，y）与δ函数的卷积

现在仅对式（1.3.17）的一维情况证明如下。首先证明f（x）*δ（1）（x）=f（1）（x）。

仿照对式（1.2.17b）的证明，有

依此类推可证

重复上述过程，最后便有

f(x)*δ(n)(x)=f(n)(x)

从公式（1.3.16）还可看出，对于任一函数f（x，y）与δ（x-x0，y-y0）卷积运算的结果，在数学上就是用δ函数的宗量（x-x0，y-y0）分别代换该函数中的自变量x、y。显然，这和函数f（x，y）与δ（x-x0，y-y0）的乘积结果式（1.2.10）是不同的，这里的卷积结果是把函数f（x，y）平移到脉冲所在的空间位置。从物理实际过程来看，这一卷积结果是，当点源平移时，成像系统所得到的像斑分布不发生变化。把这个结论推广到函数f（x，y）与多个脉冲函数的卷积情况时，卷积结果可在每个脉冲所在位置处产生f（x，y）的图像。这一性质可以用来描述各种重复性的结构，例如，可以表示双缝、多缝、光栅的透过率函数。