信息光学理论与应用中的卷积物理与几何意义

由式（1.3.6）可知，光学系统像平面上的光强分布是物的光强分布与单位强度点光源对应的像强度分布的卷积。这就是卷积在光学成像中的物理意义。下面讨论卷积的几何意义。

虽然卷积仍表示两个函数乘积的积分，但它和通常的两个函数乘积的积分不同，区别在于积分式中出现了h（x-ξ）。理解了h（x-ξ）的意义之后，卷积运算的几何意义就清楚了。可以采用图解分析方法帮助理解卷积运算的含义，并加强对物理图像的认识。现结合图1.3.2所示函数图形来看卷积的过程。

图1.3.2　函数f（x）与h（x）卷积的几何解释

①置换变量：将f（x）与h（x）中的自变量x换成积分变量ξ，见图1.3.2（a）、（b）。

②折叠：将曲线h（ξ）绕纵轴转180°，构成对称于纵轴的“镜像”h（-ξ），见图1.3.2（c）。

③位移：将曲线h（-ξ）移动距离x（设向右移动时x＞0），得到h（x-ξ），见图1.3.2（d）。

④相乘：将位移后的函数h（x-ξ）乘以f（ξ），得到f（ξ）h（x-ξ）。(www.xing528.com)

⑤积分：f（ξ）h（x-ξ）曲线下的面积即为对应于给定x值时的卷积值，见图1.3.2（e）。

上述卷积过程的图解方法概括起来有4个步骤：折叠、平移、相乘和积分。同时，通过上述讨论，可以注意到卷积运算有如下两个效应：

（1）展宽效应（Broadening Effect）：即卷积的非零值范围等于被卷积两函数的非零值范围之和。由卷积的几何意义可明显看出，只要f（x）和h（x）的非零值范围有重叠，则二者的卷积就不为零。

（2）平滑化效应（Smoothing Effect）：设f（x）是一个变化很剧烈的函数，h（x）是宽度为a的一维矩形函数，则

上式是以某区段内的积分值来表示卷积函数在某点x的值。这样，卷积的结果将变得比原来函数f（x）本身的起伏更平缓。可以把f（x）理解为某一线状光源的光强空间分布，把理解为宽度等于a的一个光电探测狭缝，狭缝在空间某一位置接收到的光强度是光强分布函数在狭缝范围内的积分。若光电之间的转换是线性的，则由一定宽度的狭缝探测后所显示的光强分布要比原来的光强分布平缓。但经过卷积运算后，函数的细微结构在一定程度上被消除了。

还可以用卷积效应来解释一些物理现象。例如，一个无像差光学系统的成像过程可以看成是卷积的运算结果，物点通过光学成像系统后，之所以得不到一个像点，而是一个像斑，这在物理上是由于系统光瞳的衍射造成的，在数学上就是卷积运算的必然结果。