信息光学理论与应用函数的定义

δ函数（Delta Function）是由P.A.M.Dirac在1930年引入的，故称为狄拉克δ函数，在物理学和工程技术中常用来描述一种极限状态。

δ函数的定义有许多种形式，下面仅给出两种最常用的形式。

定义1 （积分表达式）

定义2 （函数序列表达式）

若存在函数序列fN（x，y），且满足条件：

则

定义1表明δ函数不是普通的函数，它不像普通函数那样全由数值对应关系确定。实际上，δ函数是一个广义函数（Distribution），其属性完全由它在积分中的作用表现出来。然而，从应用角度看，可以把δ函数与普通函数联系起来，用普通函数描述它的性质。(www.xing528.com)

定义2表明δ函数可以用一个函数序列fN（x，y）的极限来表示。fN（x，y）的具体形式可以是多种多样的，表1.2.1列出了几种表示δ函数的函数序列及其极限。这些函数序列都可作为δ函数的定义式，其中前3个可在直角坐标系中进行分离变量，而后两个则是关于圆对称的。应用时可方便地选用对该问题最适合的定义式。

表1.2.1　几种表示δ函数的函数序列及其极限

图1.2.1是按照表1.2.1中前两种函数序列绘制的图形，随着N的增大，所取的矩形函数和高斯函数对应的曲线变得越来越窄，峰值则越来越高，而曲线覆盖的面积始终等于1。当N→∞时，函数曲线趋于无限大。因此在作图时也可简单地用图1.2.2所示的一个箭头表示δ函数。图中取单位长度，相应于δ函数的“面积”（一维情形）或“体积”（二维情形）。

图1.2.1　两种表示δ函数的函数序列

图1.2.2　δ函数表示