柱下单向基础内力计算

（一）概述

柱下条形基础在柱荷载作用下基底将产生反力，而基底反力的分布又与上部结构刚度、柱距、荷载分布的均匀情况、肋梁自身高度以及地基土性状、均匀程度等因素有关。

当荷载及地基土层分布较均匀时，基础受荷载后会发生整体正向弯曲，工程中称之为“盆形沉降”，此时，柱荷载（特别是底层柱荷载）分布情况将发生变化而重新分布。边柱将出现较大的超载而内柱相应卸载，即出现上部结构与地基及基础相互作用引起的“架桥”作用。当上部结构刚度较好、条基上荷载分布均匀、地基土性状均匀时，“盆形沉降”的现象并不明显，此时可考虑地基反力呈直线分布。当需考虑上部结构与地基基础相互作用引起的“架桥”作用时，因边柱有较大的超载，基础梁端部的地基反力则相应增加，若按地基反力直线分布假定计算反力时，可在边跨部位将地基反力提高15%～20%。

对处于软土地基上的框架结构柱下钢筋混凝土条形基础，应尽可能考虑上部结构与地基基础的相互作用；对不均匀沉降不太敏感的静定结构可以选用抗弯刚度较小的条形基础；对不均匀沉降敏感的超静定结构，宜采用刚度较大的条形基础，这样既提高了建筑物的整体刚度，又减小了上部结构的次应力；而对低压缩性地基上的超静定结构，可不考虑上部结构及基础与地基的共同作用。

柱下条形基础的计算方法较多，总体上可分为刚性基础法和弹性地基梁计算法两类。

刚性基础法又称为简化计算法，其假定基底反力呈直线分布。这就要求基础相对于地基土的刚度很大，如当λl≤1.75时（l为条形基础的柱距，λ为文克勒地基上梁的柔性指数，见本节“基床系数法”），可认为基础梁是刚性的。在荷载和基础都均匀对称的情况下，反力为均布，并将基础梁看作倒置的多跨连续梁，而将柱底端作为梁支座。在地基土性状较均匀、上部结构刚度较好、柱间距不太大且均匀、荷载分布较均匀（如相邻柱荷载不超过20%）、基础的刚度也较大（如肋梁高不小于1/6柱距）的情况下，因地基土变形时反力重分布是趋于均匀的，可用刚性基础法计算基础梁内力。若基础与地基的相对刚度较小，因荷载作用点下反力较集中，反力分布也不均匀，宜采用弹性地基梁法计算基础梁内力。

（二）刚性基础法

刚性基础法（简化计算法）可分为静定分析法和倒梁法两种。

采用刚性基础法设计柱下条形基础的步骤如下：

（1）绘出计算简图，包括有关尺寸、荷载、埋深等。

（2）当柱下条形基础纵向荷载不对称时，以∑MA=0，求荷载合力重心位置，将偏心地基反力变为均布反力，再调整悬臂长及基础梁总长度，使荷载重心与基础形心重合，如图2-28所示。荷载N1作用点至荷载合力重心的距离为

图2-28　计算简图

（3）按基础梁总长确定底板宽度，计算横向地基净反力。即

其中　e=∑Mx/∑Ni

（4）算出底板悬臂的地基平均净反力，并按斜截面受剪承载力确定板厚并计算配筋量。

底板厚度及配筋计算同墙下条形基础。

（5）按静定分析法或倒梁法计算条形基础纵向肋梁的内力，以确定肋梁高度及配筋量。

1.静定分析法

若上部结构的刚度很小（如单层排架结构）时，宜采用静定分析法。计算时，先按直线分布假定求出基底净反力，然后将柱荷载直接作用在基础梁上。这样基础梁上所有的作用力都已确定，故可按静力平衡条件计算出任一截面上的弯矩和剪力。

该方法没有考虑上部结构刚度的有利影响，所以在荷载作用下基础将产生整体弯曲，计算所得的基础不利截面上的弯矩绝对值一般偏大，适用于上部为柔性结构且基础本身刚度较大的条形基础。

[例题8]某框架结构柱下条形基础埋深1.5m，修正后的地基土承载力特征值fa=120kPa，条形基础上各柱荷载设计值及柱距如图2-29所示，试求条形基础底面尺寸，并用静力平衡法分析基础梁的内力。

图2-29　基础梁内力

（a）荷载（kN）；（b）弯矩（kN·m）；（c）剪力（kN）

解：（1）确定基础梁上各柱轴力的合力∑Ni距A轴线的距离x：

∑Nixi=960×14.7+1754×10.2+1740×4.2

=39311(kN·m)

总竖向荷载设计值 ∑Ni=5008kN

x=∑Nixi/∑Ni=7.85(m)

（2）确定基础梁总长L。

因构造需要，基础梁需伸出A轴的长度a1=0.5m，为了使荷载合力通过基底形心，则基础梁必须伸出D轴以外，伸出长度为a2。

a2=2(x+0.5)-14.7-a1=1.5(m)

则基础梁总长 L=14.7+a1+a2=16.7（m）

（3）确定基础梁宽度B（总竖向荷载标准值∑Nik=3710kN）。

（4）内力分析。

因基础梁长度调整后荷载合力已通过基底形心，可认为地基净反力已呈均布，则单位长度地基梁的净反力pj为：

弯矩及剪力计算：

设AB跨内最大负弯矩的截面“1”离A轴的距离为x1，则

同理，BC跨内最大负弯矩的截面“2”离B点距离为x2，则

计算结果如图2-29所示。按此法将各支座处内力及各跨中最大弯矩求出后，即可确定基础梁的肋梁宽度、高度及相应配筋。确定梁高度及配筋时，在保证安全的前提下一般可统一配算，必要时可侧重某区段加强配筋。

注意：在分析基础梁内力时，由于基础梁全长范围内梁上墙重、基础及其上填土重等荷载呈均匀分布，并被它们产生的地基反力所抵消，基础梁不会因这部分荷载而产生内力，作用在基础梁上净反力只考虑柱子传给的荷载。在进行基础底板计算时，基础及其上填土重已由基底反力抵消，在确定底板内力时，只考虑梁上墙重及柱子传给的荷载，而在验算地基承载力时，柱荷载、梁上墙重、基础自重及其上填土重都应考虑。

2.倒梁法

倒梁法假定上部结构是绝对刚性的，各柱之间没有沉降差异，因而可以把柱脚视为条形基础的固定铰支座，将基础视作倒置的多跨连续梁，而荷载则为直线分布的基底净反力以及柱脚处的弯矩。这种计算方法只考虑了柱间的局部弯曲，忽略了基础的整体弯曲，因而计算出的柱位处弯矩值与柱间最大弯矩值较为均衡，所得到的不利截面上的最大弯矩绝对值一般较小。倒梁法适用于上部结构刚度很大的情况。

当柱距近似相等、内柱荷载相同、地基土质均匀且基础的绝对及相对沉降量较小时，以直线分布的基底净反力为荷载，可近似地按连续梁弯矩系数计算柱下条形基础的内力。

倒梁法计算时所需的弯矩系数由多跨连续梁内力系数表查得，如五跨连续梁系数如表2-16所示。

表2-16　五跨连续梁系数表

注：表中p为单位长度的地基净反力。

[例题9]某预制装配多层框架结构，为使横向框架间沉降差尽量减小，需加强房屋纵向刚度，采用纵向条形基础。柱上竖向荷载设计值N1=1252kN，N=1838kN，试按倒梁法计算基础梁内力，见图2-30。

解：（1）梁弯矩计算：因荷载均匀对称，基底净反力按均布考虑，即：

该例为均布地基反力作用下，以柱为支座的九跨等跨连续梁，内力可按五跨等跨连续梁计算。为计算方便，将均布反力分成两部分，即A轴外侧悬臂段[图2-30（a）]及五跨内区段[图2-30（b）]。

MA传递至B、C截面处弯矩可用力矩分配法求算，分配过程和弯矩如图2-30（a）所示。

五跨内反力产生的弯矩由弯矩系数法计算，结果见图2-30（b）（用弯矩分配法计算，结果相近）。

支座弯矩：

MB=0.105pjl2=1157(kN·m)

MC=0.079pjl2=870(kN·m)

跨中弯矩：

M1=-0.078pjl2=-859(kN·m)

M2=-0.033pjl2=-364(kN·m)

M3=-0.046pjl2=-507(kN·m)

将图2-30（a）中用力矩分配法计算的结果与图2-30（b）中用弯矩系数法算得的结果叠加，得最后弯矩图2-30（c）（弯矩均画在受拉的一侧）。即

图2-30　例题9附图

（a）弯矩分配系数，悬臂处地基净反力和弯矩；（b）A～A范围内地基净反力和弯矩（kN·m）；（c）最后弯矩（kN·m）；（d）剪力（kN）

（2）梁剪力计算。

图2-31　不平衡力分配示意图

按以上原则将不平衡力进行分配后，基底反力呈阶梯形分布，此时需对不平衡力引起的荷载端弯矩继续用弯矩分配法进行计算，求得各跨杆端弯矩、支座处剪力及跨中弯矩，将各次计算结果叠加，直至新的不平衡力不超过荷载的20%即可。一般调整1～2次即能达到要求。

当按均布反力计算基础梁内力后，考虑到上部结构与地基基础相互作用引起的“架桥”作用，在进行配筋计算时，可以将悬挑段、边跨跨中及第一内支座的弯矩值乘以1.2的系数。

上述介绍的静定分析法及倒梁法，是在地基反力呈直线分布的假定条件下进行的。即在地基土性状均匀、上部结构刚度较好、荷载分布也均匀、且基础梁高度不小于1/6柱距时，采用以上方法计算基础梁内力一般可满足设计要求，并应注意因“架桥”作用的影响，会使悬臂段及边跨地基反力增加（因只考虑了局部弯曲作用而未考虑整体弯曲），所以对该区段基础梁进行配筋计算，应将地基反力提高15%～20%或将弯矩值乘以1.2系数，以增加受力筋配置量。

当地基强度及均匀性、上部结构刚度、荷载分布等情况与地基反力呈直线分布的假定条件相差很大时，则应采用弹性地基梁计算方法。在工程设计中较实用的弹性地基梁计算法主要是基床系数法。

（三）基床系数法（文克勒法）

基床系数法是在文克勒（Winkler）假定条件下提出的，所以也称文克勒地基上梁的计算方法，是弹性地基梁计算法中较典型的一种。

1.基本假定

文克勒地基模型假定地基单位面积上所受的压力p与该处竖向位移y成正比，如图2-32所示。

图2-32　文克勒地基模型

式中：p——基底压力或基底反力（kPa）；

y——地基竖向位移（m）；

k——基床系数（kN/m3）。

采用式（2-58）分析基础梁时，相当于将地基看作刚性底座上一系列互不相联的弹簧体系，各弹簧的竖向位移只与其上的压力大小有关，以此等效作用力面积下某一土柱的应力应变线性关系。因k值相当于单位面积的地基土产生单位竖向位移所需的力，所以基床系数的大小，不仅与地基土的变形性质有关，还与作用力面积的大小及形状、基础埋深、基础刚度等因素有关。可以认为，在基础与地基相互作用时，基床系数是反映地基土性质的基本参数。

在按基床系数法进行弹性地基梁计算时，首先确定基床系数k值。而要得到尽可能接近实际情况的k值，当地基压缩层范围内土质较均匀时，最好由现场载荷试验成果确定基床系数，即由载荷试验所得p-y曲线的近直线段中相应的p、y值求得k值，如图2-33所示。

图2-33　p-y曲线图

式中p1取基底土自重压力，p2取基础底实际压力，所得kp值为基床系数标准值。因载荷试验时承压板面积与基底面积不一致，故应对试验结果kp值进行调整，得实际基础下的基床系数设计值k：

式中：kp——试验值（kN/m3）；(www.xing528.com)

bp——承压板宽度（m）；

b——基础宽度（m）。

当无载荷试验资料时，可按表2-17中数值采用（表中数值适用于基础面积大于10m2者）。

根据文克勒假定，地基的沉降范围均在基底范围之内（因该假定未考虑受荷载时地基中剪应力的存在），而一般情况下，由于受荷载时地基中存在剪应力，地基中的附加应力才扩散至基底以外，使基底附近一定范围地表也发生沉降。所以对上部结构刚度较差的长形建筑物，基底反力图与基础梁的位移图相近似时，可近似地采用该法进行基础梁的内力计算。对压缩层厚度较薄（不超过基础宽度的1/2）的地基（薄层竖直面的剪力很小），对抗剪强度很低的高压缩软土地基，薄层破碎岩层或不均匀的土层，以及基底下塑性区相对较大时，也可采用基床系数法进行基础梁的内力计算，而且，上部结构刚度较差时，地基土性质越差，其计算结果越接近实际。

表2-17　基床系数k的经验数据

2.文克勒地基上的梁挠曲微分方程及其解答

图2-34　弹性地基上基础梁

式中：W——基础梁的挠度（m）；

E——基础梁材料的弹性模量（kPa）；

I——基础梁截面惯性矩（m4）；

q——基础梁上均布荷载（kN/m）；

p——基底反力（kPa）；

b——基础梁宽度（m）。

式中，λ为弹性地基梁的柔性指数，它反映了基础梁对地基相对刚度的大小，λ值越小，则基础梁相对地基的刚度越大。该齐次四阶常系数微分方程的通解为：

式中待定积分常数c1～c4可依荷载位置及边界条件确定。工程上根据基础梁上荷载作用位置及梁的相对刚度对计算位移和内力的影响，近似地按柔性指数的界限值将梁划分为：

短梁（刚性的）：梁全长L≤π/4λ；

有限长梁（半刚半柔性的）：梁全长为π/4λ＜L＜2π/λ，集中荷载位置（距梁端为x）距梁两端均为x＜π/λ；

半无限长梁（柔性的）：梁全长L≥π/λ，集中荷载位置x仅距梁一端为x≥π/λ；

无限长梁（柔性的）：梁全长L≥2π/λ，集中荷载位置x距梁两端均为x≥π/λ。

图2-35　荷载作用下的无限长梁

（a）集中力作用；（b）力偶作用

（1）无限长梁解（图2-35）。设集中力P0作用于无限长梁，以P0作用点O为原点，此时原点两侧地基反力对称分布。当x→∞，得W→0，即离荷载作用点愈远，挠度W愈小直至趋于0，则式（2-61a）中必须要求c1=c2=0，式（2-61a）改写为：

由图2-35可知，原点两侧梁挠曲曲线对称分布，在O点处x=0，挠曲曲线斜率为零，此时dW/dx=0，可得-（c3-c4）=0，令c3=c4=c，则上式改写为：

集中力作用时：

力偶作用时：

式中：Ax=e-λx（cosλx+sinλx）；Bx=e-λxsinλx；Cx=e-λx（cosλx-sinλx）；Dx=e-λxcosλx。

系数Ax、Bx、Cx、Dx值见表2-18。

表2-18　文克勒地基上梁计算系数

当多个荷载作用于无限长梁上时，可分别以各荷载作用点为原点，计算出各荷载对某一计算截面产生的W、M及Q，之后叠加即可。在用式（2-62）计算时，若W、M及Q分布图不对称，则原点左侧的计算截面所产生的W、M及Q应反号。

图2-36　半无限长梁受荷载作用的变形

（2）半无限长梁解。当基础梁上集中荷载作用点离梁一端的距离较近（x＜π/λ），而离另一端距离很远时（x≥π/λ），此时荷载作用点一侧为有限长梁，而另一侧为无限长梁，该梁即称半无限长梁，边柱荷载作用下的条基即属此类，如图2-36所示。

当梁一端受集中力P0或力偶M0作用时，仍以荷载作用点为原点，按边界条件，可求解出：

（3）有限长梁解。实际工程中为数较多的基础梁属有限长梁。计算时，可利用无限长梁的公式，用叠加原理来满足有限长梁两自由端的边界条件求解，如图2-37所示。

图2-37　叠加法计算有限长梁

有限长梁Ⅰ作用有荷载P、M，设想将梁Ⅰ从A、B两端无限延伸成无限长梁Ⅱ，按无限长梁解，在A、B处会产生挠度、转角、弯矩及剪力。注意梁Ⅰ的AB端实际上无弯矩和剪力。

设A、B两截面按无限长梁解得的弯矩和剪力为Ma、Mb、Qa、Qb，要使梁Ⅱ利用无限长梁公式叠加法计算后能得出相应于实际有限长梁的解，应设法消除梁Ⅱ中A、B两截面的Ma、Mb、Qa、Qb，这样就可满足实际有限长梁的边界条件。为此，可在梁Ⅱ紧靠AB段两端的外侧，各增加一对相反集中荷载MA、PA及MB、PB，并要求两对附加荷载在A、B两截面中产生的弯矩和剪力分别等于-Ma、-Qa及-Mb、-Qb。

原荷载P及M在无限长梁Ⅱ上A、B截面产生的Ma、Qa、Mb、Qb与附加荷载MA、PA、MB、PB的关系，由式（2-62）及x=0的条件，可列出方程式（2-64）及式（2-65）（当x=0时，Ax=Cx=Dx=1）。

求解附加荷载PA、MA、PB、MB时，先按式（2-62）求出原荷载P、M作用在无限长梁上A、B截面处Qa、Ma、Qb、Mb值，再代入式（2-65）即可求出附加荷载PA、MA、PB、MB。之后将原荷载及附加荷载同时作用在无限长梁上并计算梁内力，即可得出有限长梁解答。

式中：AL、CL、DL——梁长为L时的Ax、Cx、Dx值，由计算或按表2-18查得。

解式（2-64）方程组可得出附加荷载值，即：

当有限长梁上作用有对称荷载时，即Qa=-Qb，Ma=-Mb，此时式（2-65）简化为：

（4）短梁。因短梁属刚性基础梁，此时可假定地基反力呈直线分布，按倒梁法计算内力即可。

利用基床系数法计算基础梁内力时，实际条件应与公式适用条件相适应才能得出与实际情况接近的计算结果。由于该方法计算过程较繁，对内柱荷载及柱距较均匀的条形基础，悬臂长度在构造要求范围内，上部结构刚度较大，地基土较好且均匀时，还是用倒梁法计算更快捷。在荷载及柱距相等且k=10～50MN/m3时，用基床系数法计算基础梁内力所得结果与倒梁法计算结果接近。

[例题10]设一无限长梁上作用有集中荷载（设计值）P1=P2=P3=150kN，梁宽b=1.0m，EI=3.48×105kN·m2，k=50MN/m3，试求梁弯矩和剪力，如图2-38所示。

解：（1）求λ值：

图2-38　例题10附图

（2）计算荷载作用点处截面弯矩及剪力，由式（2-62）得：

①在“B”截面，以该点为坐标原点，则x=0， λx=0， CxB=DxB=1.0。

当P1、P3作用时，x=4.0， λx=1.74，计算出

CxA=CxC=-0.2025

DxA=DxC=-0.02955

②在“A”截面，以该点为坐标原点（同“C”截面）

P1作用时，x=0，λx=0，Cx=1.0，Dx=1.0

P2作用时，x=4，λx=1.74，Cx=-0.2025，Dx=-0.02955

P3作用时，x=8，λx=3.48，Cx=-0.01883，Dx=-0.02905

③求跨中弯矩M1、M2

P1作用时，x=2，λx=0.87，Cx=-0.0500

P2的作用同P1，Cx=-0.0500

P3作用时，x=6，λx=2.61，Cx=-0.10066

（3）求P1、P2、P3对A、C截面外侧x1=2m，x2=4m处各截面弯矩及剪力，仍按此方法进行。计算结果如图2-38所示。

地基上梁的计算方法，还可用有限差分法、有限元等方法计算，它可适用于变截面梁及复杂的地基条件，具体计算方法参见有关文献。