广义状态空间平均法在电力系统中的应用

广义状态空间平均法的前提是：波形x（t）可在区间（t-T，t］上用傅里叶级数以任意精度近似表示：

式中

式（7-1）中，n的值由所需的精度确定。如果n趋近于无穷大，那么近似所产生的误差就接近零。如果我们只考虑k=0的项，那就与状态空间平均法一样^［12］。如果一个状态变量没有振荡且几乎不变，我们只用k=0的项。如果一个状态变量只有与正弦波类似的振荡形式，那么我们就使用k=-1，1的项。这种方法叫做一次谐波近似。此外，如果一个状态变量既有直流分量又有振荡形式，我们就使用k=-1，0，1的项。考虑的项越多，精度就越高。

对每个变换器进行建模时，T的选择非常重要，需要仔细考虑。比如，对于DC/DC变换器，T为开关周期；对于DC/AC逆变器，T为输出电压基波周期。〈x〉k（t）为傅里叶系数。因为区间的滑动是时间的函数，所以傅里叶系数也是时间的函数。当长度为T的窗口滑过实际的波形时，会计算出这些傅里叶系数的演化时间。我们的方法是确定一个合适的状态空间模型，其中的系数式（7-2）为状态变量。傅里叶系数式（7-2）的某些属性对于分析非常关键，详列如下：

1）对时间取微分：第k个系数的时间导数计算式为

此方程对于得到含有傅里叶系数的平均模型非常重要。在分析驱动频率变化的系统时，还需要考虑ω随时间变化的情况。这种情况下，式（7-3）只是一个近似式而已。但是对于缓慢变化的ω（t），它就是一个不错的近似^［24］。(www.xing528.com)

2）变量函数的变换：

〈f〉_k=〈f（x₁，x₂，…，x_n）〉_k （7-4）

多数情况下，不可能根据有限个系数〈x〉_i得到式（7-4）的显式形式。当f为多项式时，精确计算式（7-4）才可行。这个计算过程基于以下的卷积关系：

其中，求和是对所有整数i进行的。许多情况下，我们需要忽略式（7-5）中许多足够小的项。在f为多项式的情况下，分别考虑齐次项可计算出式（7-4）的结果。常数项和线性项的变换不重要。二次项的变换可由式（7-5）得到。对于更高阶齐次项，通过因式分解将每一项分解为两个低阶项的乘积，然后再对每一个因子进行处理。