食品质量数据收集及描述

（一）质量数据的分类

不同种类的数据，其统计性质不同，相应的处理方法也就不同，因此，要正确对数据进行分类。食品质量管理中的数据可分为以下两类。

1.计量数据

计量数据是指可连续取值的数据。计量数据一般是用量具、仪器进行测量取得的，其特点是在某一范围内可以连续取值。在食品质量管理中会遇到大量的计量数据，如长度、体积、重量、温度、时间、营养素含量等。计量数据大多服从正态分布。

2.计数数据

计数数据是指不能连续取值的，只能以个数计算的数据。计数数据的取得是通过计数的方法获得的，它们只能取非负的整数。计数数据还可以进一步分为计件数据和计点数据。计件数据表示具有某一质量标准的产品个数，如总体中合格品数、一级品数；计点数据表示个体（单件产品、单位长度、单位面积、单位体积等）上的缺陷数、质量问题点数等，如检验食品包装袋的印刷质量时，包装袋表面的色斑、套色错误等。需要注意的是，计件数据变换成比率后的数据依然是计件数据，如产品的不合格品率。

（二）质量数据的特征值

质量数据的特征值是数据分布趋势的一种度量。数据特征值可分为两类：一类描述数据分布的集中趋势，如平均值、中位数等；另一类描述数据分布的离散程度，如极差、方差、标准差等。

1.表示数据集中趋势的特征值

（1）算术平均值：将所有数据之和为分子，数据的总个数为分母的商。

（2）中位数：把数据按大小顺序排列，当有相同数值时应重复排列，排在中间位置的那个数据即为中位数；当数据的个数为偶数时，中间位置的两个数据的平均值为中位数。

（3）频数：把杂乱的数据按照一定的方式整理出各个不同值出现的次数，称为该值出现的频数。

（4）众数：一组测量数据中出现次数最多的那个数。

2.表示数据离散程度的特征值

（1）极差：一组测量数据中的最大值与最小值之差，通常用符号R表示。

（2）方差：样本数据所有观测值的离差平方和的“平均值”，记为S2。

方差以均值为中心，提取了全部样本数据中的离差信息，这就使得它在反映离散程度方面更加全面，而且均值具有各个样本数据与其离差平方和为最小的性质，也保证了方差在说明均值代表性方面的良好性质。一般地，样本方差S2越大，则样本数据的分散程度越高。

（3）样本标准差。样本方差的量纲与原始数据的量纲不同，它是原始数据量纲的平方，所以在实际应用时常用其算术平方根，称为样本标准差，记为S。

（三）质量数据的概率分布

1.正态分布

在质量管理中，常见的、应用最广的连续变量的分布为正态分布。例如，某一种加工食品的重量、营养成分含量等质量特性值都服从正态分布。若x为一正态随机变量，则x的概率密度为：

式中：μ（-∞＜μ＜+∞）为总体均值，σ（σ＞0）为总体标准差。

正态分布常常记为x～N（μ，σ2），其图形参见图5-1，由图可以看出以下两个方面。

①正态分布是对称的、单峰的钟形曲线。

②任一正态分布仅由μ和σ两个参数完全确定。μ也称分布的位置参数，σ称分布的形状参数；σ值越小，曲线越陡，数据离散程度越小，σ值越大，曲线越扁平，数据的离散程度越大。

图5-1　μ相同、σ不同的三条正态分布曲线

图5-2给出了正态分布曲线下不同面积所包含的概率大小。例如，总体数值有68.26%落于μ±σ界线的范围内，有95.46%落于μ±2σ界线的范围内，有99.73%落于μ±3σ界线的范围内。上述结论是质量管理中经常要用到的。

图5-2　正态分布曲线下不同面积所包含的概率

累积正态分布定义为：正态变量x小于或等于某一数值c的概率，即

为使上述积分的计算与μ以及σ2的具体数值无关，引入标准变换

于是

其中，函数Φ为标准正态分布N（0，1）的累积分布函数。它的计算结果见附录附表1：《标准正态分布表》。表中仅给出正值Z左侧的概率。若考虑其他情况，则可利用正态分布的对称性来计算。例如，可应用下列几个公式：P{Z≥c}=1-P{Z≤c}=1-Φ（c）；P{Z≤-c}=P{Z≥c}；P{Z≥-c}=P{Z≤c}；P{c1＜Z≤c2}=Φ（c2）-Φ（c1）；其中c, c1，c2＞0。

【例5-1】包装纸的抗拉强度是一个重要的质量特性。假定包装纸抗拉强度服从正态分布，其均值为μ=3.0kg/cm2，方差为σ2=0.2kg/cm2。现购买厂家要求包装纸抗拉强度不低于2.5kg/cm2，问购买该种包装纸能满足厂家要求的概率为多少？(www.xing528.com)

解：满足厂家要求的概率为P{x≥2.5}=1-P{x≤2.5}。应用标准变换，可求得P{x≤2.5}=P{Z≤（2.5-3.0）/0.2}=P{Z≤-2.5}=1-Φ（2.5）。

故P={x≥2.5}=1-[1-Φ（2.5）]=0.99379。

2.超几何分布

设有一批产品，批量大小为N，假定其中含有D件不合格品，则该批产品不合格品率P为：

当检验该批产品时，从该批产品中随机每次抽取一件产品共抽n次，而抽出每一件后均不放回到这批产品中去。那么，共抽取n件产品时恰好有x件不合格品的概率服从超几何分布，即

超几何分布的数学期望值和方差分别为：

图5-3给出了N、D、n不全相同的超几何概率分布图形。离散概率分布的图形应由横坐标上孤立点的垂直线条表示，为便于比较而将其顶点用折线相连。

图5-3　超几何概率分布

【例5-2】一批产品，批量为100件。已知批不合格品率为0.01，从批中随机抽取5件，求其中含有1件不合格品的概率和不超过1件不合格品的概率。

解：设样本中含有的不合格品个数为x, D=100×0.01=1，n=5。

3.二项分布

当一个随机事件的发生只有两种可能的状态或结果时，可以用二项概率分布来描述。如果某一随机事件在n次独立试验的每一次试验中出现的概率都是P，它不出现的概率是1-P，那么该事件在n次试验中出现x次的概率为：

二项分布的均值与方差分别为：

在质量管理中，二项分布是常见的。对于从无限总体中抽样而以P表示总体不合格品率的情况，二项分布是适宜的概率模型。

在二项分布中，给定n和P后，P（x）是x的函数，x的可能取值为1，2，……，n。所以，二项分布的图形由（n+1）个离散点构成。图5-4和图5-5分别给出了n的值不全相同和P不全相同的二项分布图形。由图5-4知，当n充分大时，二项分布趋于对称，近似趋于正态分布。由图5-5知，当P=0.50时，图形关于x=nP=5左右对称；而当P≠0.50时，图形就发生偏移，当P=0.25＜0.50时，向左偏，当P=0.75＞0.50时，向右偏。

图5-4　二项分布的图形随n的变化

图5-5　二项分布的图形随P的变化

【例5-3】某种产品的日产量很大，批不合格品率为0.01。把日产量看作一批，从中随机抽取3个单位产品，求样本中含有不合格品个数的概率分布。

4.泊松分布

在质量管理中，泊松分布的典型用途是用作单位产品上所发生的缺陷数的数学模型。如果单位产品的缺陷数满足以下3条假定，则说明单位产品的缺陷数服从泊松分布。

（1）在单位产品很小的面积上（长度或体积等），出现两个或两个以上缺陷的概率很小，在极限状态下可以略去不计。

（2）在任一很小的面积上，出现一个缺陷的概率仅与面积成正比。

（3）在任一很小面积上是否出现缺陷，与另一很小的面积上是否出现缺陷相互独立。

用x表示缺陷数，则x为随机变量，可取任意一个自然数0，1，2， ... ，缺陷数恰好等于x的概率服从泊松分布。即

式中，参数λ＞0，为单位产品缺陷数的期望值，常用样本缺陷数的平均值估计。

泊松分布的均值与方差分别为：

在泊松分布中，给定λ后，P（x）是x的函数，x可能取值为0，1，2，……所以泊松分布由无穷多个离散点构成。图5-6给出了不同λ值的泊松分布图形。由图可见，当λ充分大时，泊松分布趋于对称，近似趋于正态分布。

图5-6　泊松分布图形随λ的变化而变化

【例5-4】在产品的加工过程中，观察产品在装配中发现的缺陷，经统计每台产品的平均装配缺陷数λ=0.5，试求在检验中发现恰有1个缺陷的概率。

解：由题意可知：λ=0.5

在实际应用中，常常通过查《泊松分布表》（附表2），计算其概率值。