半边结构法简化计算-建筑力学

对称结构在正对称荷载作用下内力和变形都是对称的;在反对称荷载作用下内力和变形都是反对称的。根据这一特点,可截取整个结构的一半(又称为原结的等代结构)来进行计算,称为半边结构法。下面分别就奇数跨和偶数跨两种对称结构加以说明。

(1)奇数跨对称结构的半边结构取法

①奇数跨对称结构在正对称荷载作用下的半边结构。如图14.22(a)所示的单跨对称刚架,在正对称荷载作用下,由于只产生正对称的内力和位移,由此可知,在对称轴处的截面C处不可能发生转角和水平位移,但能产生竖向位移。同时该截面上将有弯矩和轴力,而无剪力。故在取一半刚架进行计算时,C截面处可用一个定向支座代替原来的约束,得到如图14.22(b)所示的半刚架的计算简图。这样就使原来三次超静定结构降为两次超静定结构,从而使计算简化。

图14.22

图14.23

②奇数跨对称结构在反对称荷载作用下的半边结构。如图14.23(a)所示的单跨对称刚架,在反对称荷载作用下,由于只产生反对称的内力和位移,由此可知,在对称轴处的截面C处不可能产生竖向位移,但能发生转角和水平位移。同时该截面上将有剪力,而无弯矩和轴力。故在取一半刚架进行计算时,C截面处可用一个沿对称轴方向的链杆代替原来的约束,得到如图14.23(b)所示的半刚架的计算简图。这样就使原来三次超静定结构降为一次超静定结构,从而使计算简化。

(2)偶数跨对称结构的半边结构取法

①偶数跨对称结构在正对称荷载作用下的半边结构。如图14.24(a)所示的偶数跨对称刚架,在正对称荷载作用下,从变形为正对称的角度来分析,C截面处的转角和水平位移为零,同时由于C截面处还有一竖杆,当不考虑杆件的轴向变形时,C截面也不能产生竖向位移,即在对称轴上的刚结点C处将不可能产生任何位移。由于CD杆位于对称轴上,故无剪力和弯矩只有轴力。故C截面相当于受固定端支座约束。因此,取半边结构计算时,可不计算CD杆,取如图14.24(b)所示的计算简图。这样就使原来六次超静定结构降为三次超静定结构,从而使计算简化。

图14.24

图14.25

②偶数跨对称结构在反对称荷载作用下的半边结构。如图14.25(a)所示的偶数对称刚架,在反对称荷载作用下,其内力和变形为反对称的。取半刚架时,可将其中间立柱设想为由两根截面惯性矩为I/2的立柱组成的,如图14.25(b)所示。将其沿对称轴切开,由于荷载是反对称的,故C截面上只有反对称的一对剪力FQC〔图14.25(c)〕。当忽略杆件的轴向变形时,这一对剪力FQC对其他杆件均不产生内力,而仅在对称轴两侧的两根立柱中产生大小相等而性质相反的轴力,由于原有中间柱的内力是这两根立柱的内力之和,故叠加后剪力FQC对原结构的内力和变形均无影响,于是可将其略去。而取半刚架的计算简图如图14.25(d)所示。于是把原来的六次超静定的结构降为三次超静定结构,从而使计算简化。

【例14.6】　利用结构的对称性,试用力法计算如图14.26(a)所示刚架内力,并绘制弯矩图。(已知各杆刚度EI为常数)

图14.26

【解】　此结构为单跨超静定刚架受反对称荷载,取其半边结构如图14.26(b)所示。该半边结构为一次超静定结构,基本体系如图14.26(c)所示,力法典型方程为

δ11X1+Δ1P=0(www.xing528.com)

分别绘出图和MP图,如图14.26(d)、(e)所示。

用图乘法计算系数和自由项为

将系数和自由项代入典型方程,解得

X1=16kN

由叠加法M=X1+MP求出各杆端弯矩,并用对称性给出整个结构的弯矩图,如图14.26(f)所示。

【例14.7】　试计算如图14.27(a)所示刚架内力,并绘制弯矩图。(已知各杆刚度EI为常数)

【解】　此结构为六次超静定结构,有两个对称轴,相对于竖向对称轴是两跨对称结构,相对于水平对称轴是单跨对称结构,荷载对两个对称轴都是正对称的。先取半边结构,如图14.27(b)所示,又是对称的,再取其一半,即原结构的四分之一结构,如图14.27(c)所示,降为两次超静定结构。选取其基本体系如图14.27(d)所示,建立力法典型方程为

δ11X1+δ12X2+Δ1P=0

δ21X1+δ22X2+Δ2P=0

分别绘出图,图和MP图,如图14.27(e)、(f)、(g)所示。

由图乘法计算系数和自由项为

图14.27

将以上系数和自由项代入力法方程,解得

由叠加公式M=X1+X2+MP计算各杆端弯矩值,并由对称性绘出整个结构的弯矩图如图14.27(h)所示。