力法基本原理：以建筑力学为例解释

力法计算超静定结构的基本思想是将超静定问题转化为静定问题,并利用前述各章中介绍的静定结构内力和位移的计算方法来分析求解超静定结构问题。

下面以一个简单的例子阐述力法计算基本原理。如图14.8(a)所示为一端固定一端铰支的超静定梁,有一个多余约束,是一次超静定结构。现将支座B处的竖向链杆作为多余约束去掉,得到的悬臂梁是静定结构,将去掉多余约束得到的静定结构称为力法的基本结构∙∙∙∙。被去掉的多余约束用相应的多余未知力X1代替其作用,即多余未知力与被去掉的多余约束作用完全相同,原超静定梁与基本结构在荷载和多余未知力共同作用下的体系完全等效,为此将基本结构在荷载和多余未知力共同作用下的体系称为原超静定结构的基本体系∙∙∙∙或称之为相当系统,如图14.8(b)所示。只要设法求出多余未知力X1,就可按静定结构的计算来求出如图14.8所示静定梁的内力和变形,也即是如图14.8(a)所示的原超静定结构的内力和变形,从而一个超静定问题就转化为静定问题了。这种计算方法的关键是求多余未知力,因此,多余未知力是力法计算的基本未知量,“力法”的名称也因此而来。

图14.8

在如图14.8(a)所示超静定梁或如图14.8(b)所示的静定梁上,仅用静力平衡条件不可能求出多余未知力X1。

为了确定多余未知力X1,需进一步考虑位移条件以建立补充方程。在如图14.8(b)所示的基本体系中,多余未知力X1代替了原结构中支座B的作用,故基本体系的受力与原结构完全相同,因而基本体系的变形也应与原结构完全相同。由于在原结构〔图14.8(a)〕中,支座B处的竖向位移等于零,因而在基本体系〔图14.8(b)〕中,B点由荷载与多余未知力X1共同作用下在X1方向上的位移Δ1也应该为零。即

设Δ1P〔图14.8(c)〕和Δ11〔图14.8(d)〕表示基本结构分别在荷载与多余未知力X1单独作用下,引起的B点沿X1方向上的位移。由叠加原理,有

若以δ11表示为X1单位力(=1)单独作用于基本结构上时〔图14.8(e)〕,引起的B点沿X1方向上的位移,则有Δ11=δ11X1,代入式(b),有

由于δ11和Δ1P都是静定结构在已知荷载作用下的位移,均可用静定结构的位移计算方法求出,因此式(14.1)中只有X1为未知量,利用此式即可求出X1,将该式称为力法方程。

计算δ11和Δ1P时可采用图乘法。为此,绘出=1和荷载单独作用下的图和MP图〔图14.8(f)、(g)〕。求δ11时为图与图相乘,称为“自乘”;求Δ1P时为图与MP图相乘。于是有(www.xing528.com)

将δ11和Δ1P代入式(c),有

解得

所得未知力X1为正号,表示反力X1的实际方向与所设的方向相同。

当多余未知力X1求出后,其余反力和内力的计算就可以利用静力平衡条件逐一求出,最后绘出基本结构在全部力作用下的弯矩图即为原结构的弯矩图,如图14.8(h)所示。

原结构的弯矩图也可利用已经绘出的图和MP图按叠加原理绘出,即

由上式算出杆端弯矩值后,绘出M图〔图14.8(h)〕。

综上所述,力法以多余未知力作为基本未知量,以去掉多余约束后的静定结构作为基本结构,把基本结构在原荷载和多余未知力作用下的体系作为基本体系,根据基本体系在多余约束处的位移与原结构完全相同的条件(称为位移条件)建立力法方程,求解出多余未知力,从而把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。