建筑力学（第2版）：功的互等定理及应用

设有两组外力F1和F2分别作用于同一线弹性结构上,如图13.28(a)、(b)所示,分别称为结构的第一状态和第二状态。第一状态在荷载F1作用下,某微段ds的内力为FN1,M1,FQ1,相应的变形为du1,dφ1,γ1ds;第二状态在荷载F2作用下,某微段ds的内力为FN2,M2,FQ2,相应的变形为du2,dφ2,γ2ds。

图13.28

①将第一状态视为力状态,第二状态视为位移状态。第一状态的外力在第二状态相应的位移上所做的虚功为

W外=F1Δ12

第一状态的内力在第二状态相应变形上所做的虚功为

根据虚功原理:一种状态下的外力在另一种状态的位移上所做的外力虚功,等于一种状态下的内力在另一种状态的变形上所做的内力虚功,即W外=W内,于是有

②如果我们把两个状态的性质互换一下,即将第二状态视为力状态,第一状态视为位移状态。则第二状态的外力在第一状态相应的位移上所做的虚功为

W外=F2Δ21(www.xing528.com)

第二状态的内力在第一状态相应变形上所做的虚功为

同样根据虚功原理,于是有

显然(a)、(b)两式等号右边完全相等,因此有

式中,Δ12表示F1作用点位置由于F2作用产生的位移,Δ21表示F2作用点位置由于F1作用产生的位移。两位移符号的第一个下标表示位移的地点和方向,第二个下标表示产生位移的原因。式(13.12)可写为

它表明,第一状态的外力在第二状态相应位移上所做的虚功,等于第二状态的外力在第一状态相应位移上所做的虚功。这就是功的互等定理。