建筑力学-图形分解法

在用图乘法计算位移时,会经常遇到图形的面积或形心位置不方便确定,此时,可以将其分解为几个简单的图形,用简单的图形分别与另一图形相乘,然后把所得结果叠加。

①如图13.15所示两个梯形弯矩图图乘时,梯形的形心位置不易确定,可将其分解成两个三角形,如图13.15(a)所示,也可分为一个矩形与一个三角形,如图13.15(b)所示。此时,MP=MP1+MP2,因此有

图13.15

当杆段两端受拉侧不相同,即杆两端截面的弯矩值不在基线的同一侧时,如图13.16所示,处理方法与上面一样,即仍然可分解为两个三角形,只不过这两个三角形分别在基线的两侧,按上述方法分别图乘,然后叠加。

图13.16

如果是如图13.16(a)所示的两个弯矩图相乘,A1和与其对应的y1均位于基线的上侧;而A2位于基线的下侧,与其对应的y2却位于基线的上侧,即A2与y2位于基线的异侧,因此有

如果是如图13.16(b)所示的两个弯矩图相乘,A1位于基线的上侧,与其对应的y1位于基线的下侧;A2位于基线的下侧,与其对应的y2位于基线的上侧,因此有

②如图13.17(a)所示,某直杆的AB段受均布荷载作用,根据叠加原理可将其弯矩图看成一个梯形与一个标准二次抛物线图形的叠加。这是因为AB段的弯矩图,与如图13.17(b)所示的简支梁在两端弯矩MA,MB和均布荷载q作用下的弯矩图相同。而图13.17(b)可视为简支梁只受两端弯矩MA,MB的作用,与简支梁只受均布荷载q作用的作用叠加,如图13.17(c)、(d)所示。因此可将其分解为两个简单图形:一个梯形与一个标准二次抛物线。经过如此分解,就能方便地与另一个图形进行图乘。

图13.17

图13.18

图13.19

当承受均布荷载杆段两端截面受拉侧不相同时,如图13.18所示,其弯矩图可按图中相应的方法进行分解。而当其中一个杆端截面弯矩等于零时,则可将其弯矩图视为一个三角形和一个标准二次抛物线的叠加,如图13.19所示。

此外,在应用图乘法时,如果直线图形是由若干段直线段组成的,即是折线形图形;或当各杆段的截面不相等,即不是同等截面直杆而是阶梯状直杆,均应分段图乘,然后进行叠加。

【例13.5】　如图13.20(a)所示,简支梁受均布荷载q作用。试用图乘法计算跨中截面形心的竖向位移。

图13.20(www.xing528.com)

【解】　①欲求跨中截面形心的竖向位移,建立如图13.20(b)所示的虚拟状态。

②分别作出实际状态的弯矩MP,图,如图13.20(c)、(d)所示。

③用图乘公式(13.9)计算位移。

虽然 图是直线形弯矩图,但它是由两段直线所组成的折线图形,因此应分段进行图乘。为此,将MP图从中点处分开,得到两条关于中点对称的标准二次抛物线图形,每条抛物线对应于 图中的一条直线。由于图中的两条直线也关于中点对称,于是有:A1=A2,y1=y2,代入图乘公式,可得

【例13.6】　求如图13.21(a)所示外伸梁悬臂端C点的竖向位移ΔCy。

【解】　①根据需求位移建立虚拟状态,如图13.21(c)所示。

②作MP,弯矩图,如图13.21(b)、(c)所示。

③代入式(13.9)图乘计算位移。

因图包括两段直线,故整个梁分为AB和BC两段,分别图乘。AB段MP图又可分解成基线以上的三角形A1和基线以下的标准二次抛物线A2,于是有

图13.21

由图乘公式得

【例13.7】　试求如图13.22(a)所示刚架D截面形心的水平位移ΔDx,已知各杆的EI=常数。

图13.22

【解】　①根据需求位移,在点D处加一水平单位集中力,建立如图13.22(c)所示的虚拟状态。

②作MP、 弯矩图,如图13.22(b)、(c)所示。

③代入式(13.9)图乘计算位移。