建筑力学（第2版）中的结构位移计算公式

如图13.7(a)所示的平面杆系结构,由于荷载、支座移动等因素作用,产生了如图中虚线所示的变形和位移,这是结构的实际状态,现求某一指定点K沿某一指定方向K—K′上的位移ΔK。根据前面的讲述,我们可以利用虚力原理来解决这一问题。

现在要求的位移是由给定的荷载、温度变化以及支座移动等因素引起的,故应以此作为结构的位移状态,并称为实际状态。此外,还需要根据拟求位移建立力状态。由于力状态与位移状态是彼此独立无关的,因此力状态可以根据计算的需要来假设。为了使力状态中的外力能在位移状态中的所求位移ΔK上做虚功,就在K点沿K—K′方向加一个集中荷载F,其箭头的指向可随意假设。为了计算方便,令=1,如图13.7(b)所示,以此作为结构的力状态。这个力状态并不是原有的,而是虚设的,因此称为虚拟状态。

现在来讨论虚拟力状态的外力和内力在实际位移状态相应位移和变形上所做的虚功。外力虚功包括荷载和支座反力所做的虚功。设在虚拟力状态中,由单位荷载=1引起的支座反力为,如图13.7(b)所示。而在实际位移状态中相应的支座位移为c1,c2,c3,如图13.7(a)所示。则外力虚功为

显然,单位荷载=1所做的虚功在数值上正好等于所要求的位移ΔK。

设虚拟状态中由单位荷载作用在某微段上所产生的内力为,如图13.7(d)所示,而在实际位移状态中该微段相应的变形为du,dφ,γds,如图13.7(c)所示。则内力虚功为

由虚功原理W外=W内,有(www.xing528.com)

于是可得

式(13.3)就是平面杆件结构位移计算的一般公式。若确定了虚拟状态的支座反力,和微段内力,同时已知实际位移状态中的支座位移c1,c2,c3,并求得了实际位移状态中该微段的变形du,dφ,γds,则可由式(13.3)计算出位移ΔK。如果计算结果为正,表示单位荷载所做的虚功为正,则所求位移ΔK的实际指向与所假设的单位荷载=1的指向相同,为负则相反。

图13.7

由以上分析可知,用虚功原理计算结构的位移,关键在于建立恰当的虚拟力状态,而此方法的好处在于虚拟状态中只在所求位移处沿所求位移方向加一个单位荷载,以使荷载虚功刚好等于所求位移。这种计算位移的方法称为单位荷载法。