建筑力学：变形体虚功原理适用于各种变形体

如图13.5所示的简支梁,先在F1作用下,然后再加上F2达到如图13.5(b)所示的变形状态,在整个过程中,外力总功为

W=W11+W12+W22

内力总功为

U=U11+U12+U22

根据能量守恒定律,W=U,即

W11+W12+W22=U11+U12+U22

由于W11=U11,W22=U22,于是有

上式称为虚功原理:第一组外力在第二组外力所引起的位移上所做的外力虚功,等于第一组内力在第二组内力所引起的变形上所做的内力虚功,即外力虚功等于内力虚功。式(13.2)称为虚功方程。(www.xing528.com)

如图13.5所示的两组外力F1,F2是彼此独立的。为清晰起见,通常用F1,F2分别单独作用的两种状态来研究,如图13.6所示。将F1作用下的平衡状态称为第一状态(或称为力状态),如图13.6(a)所示;而将F2作用下的平衡状态称为第二状态(或称为位移状态),如图13.6(b)所示。为此,虚功原理可表述为:第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功,等于第一状态的内力在第二状态的变形上所做的虚功。做功的外力和内力都是第一状态的,而相应的位移和变形则都是第二状态的。

由于如图13.6所示的两个状态是彼此独立无关的,因此,无论结构处于什么样的两个状态,只要力状态是平衡的,位移状态的位移和变形是微小的,并且为结构的约束条件和变形条件所允许,则虚功原理都是适用的。而且在位移状态中,引起位移的原因可能是荷载,也可能是温度变化、支座移动等,不论是由什么原因引起的位移,虚功原理都是适用的。这样,变形体的虚功原理可表述为:变形体处于平衡的必要和充分条件是:对于任何虚位移外力所做的虚功总和等于变形体各微段截面上的内力在其变形上所做的虚功总和。

图13.6

前面讨论时,未涉及材料的物理性质,这就说明在小变形范围内,对于弹性、非弹性、线性、非线性的变形体,虚功原理都能适用。当然虚功原理也适用于刚体结构,只不过由于刚体不产生变形。因此,虚功原理应用于刚体结构时可表述为:刚体结构处于平衡的充分和必要条件是:对于任何虚位移,所有外力所做的虚功总和等于零。

在具体应用变形体的虚功原理时,需要两个状态(力状态和位移状态),因而虚功原理有两种表达方式:

①对于给定的力状态,另虚设一个位移状态,利用虚功方程来求解力状态中的未知力,这时的虚功原理可称为虚位移原理。此时的虚功方程实际上就是平衡方程。

②对于给定的位移状态,另虚设一个力状态,利用虚功方程来求解实际位移状态中的位移,这时的虚功原理则称为虚力原理。本章就是讨论用这种方法来计算结构的位移。